Matematyka.pl

Witam, jestem nowy na forum, więc proszę o wyrozumiałość i poprawienie w razie czego Przechodząc do rzeczy, w książce ,,Rachunek różniczkowy i całkowy" Kazimierza Kuratowskiego znalazłem zadanie na zastosowanie indukcji, przykład wydaje się niezbyt skomplikowany, ale mimo prób nie dałem rady go zrobić Treść brzmi następująco ,,Udowodnić, że dla każdego naturalnego n i każdego rzeczywistego \(\displaystyle{ a \ge -1}\) zachodzi następujący wzór (stanowiący uogólnienie nierówności Bernoulliego):
\(\displaystyle{ (1+a) ^{n} \ge 1+na+ \frac{n(n-1)}{2} a ^{2} +\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a ^{3}}\)
Proszę o jakieś wskazówki, pomoc, cokolwiek

Pokaż co otrzymałeś w \(\displaystyle{ n + 1}\) kroku.

To zadanie już się pojawiło:
424566.htm

Próbowałeś indukcją? Nie powinno być trudne

Można to uzasadnić takim ładnym faktem odkrytym przez Popoviciu w 1933 roku:
funkcja po prawej stronie (jeżeli zamiast \(\displaystyle{ n}\) napisać \(\displaystyle{ x}\) )jest wielomianem interpolującym funkcję \(\displaystyle{ (1+a)^x}\) w punktach \(\displaystyle{ 0,1,2,3}\). A wielomiany interpolujące trzeciego stopnia dla funkcji spełniających \(\displaystyle{ f''''>0}\) nie mają z nią innych punktów wspólnych

Dowód np tu: Bullen, P. S. A criterion for n-convexity. Pacific J. Math. 36 (1971) 81–98.


EDIT: Widzę, że Premislav już to zrobił indukcją