Udowodnij wzór
-
Tys
- Użytkownik
- Posty: 172
- Rejestracja: 12 kwie 2005, o 15:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 12 razy
Udowodnij wzór
Dany jest n-wielokąt, napisz wzór na ilość przekątnych w tym wielokącie. Podany wzór udowodnij
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Udowodnij wzór
Można to ładnie uzasadnić 'nieindukcyjnie' ale... 
Twierdzenie: Ilość \(\displaystyle{ x}\) przekątnych w n-kącie wypukłym wyraża się wzorem \(\displaystyle{ x=\frac{n(n-3)}{2}}\).
Dowód:
Jakieśtam małe przypadki zliczając (sam sprawdź).
Zakładamy, że wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
'Dokładając' jeden wierzchołek dodajemy \(\displaystyle{ k-1}\) przekątnych, więc \(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2} + k-1 = \frac{k^2-3k+2k-2}{2}= \frac{k^2-k-2}{2}=\frac{(k+1)(k-2)}{2}}\).
Z prawdziwości wzoru dla \(\displaystyle{ k}\) wynika prawdziwość dla \(\displaystyle{ k+1}\) więc na mocy indukcji zachodzi on dla wszystkich \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Twierdzenie: Ilość \(\displaystyle{ x}\) przekątnych w n-kącie wypukłym wyraża się wzorem \(\displaystyle{ x=\frac{n(n-3)}{2}}\).
Dowód:
Jakieśtam małe przypadki zliczając (sam sprawdź).
Zakładamy, że wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
'Dokładając' jeden wierzchołek dodajemy \(\displaystyle{ k-1}\) przekątnych, więc \(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2} + k-1 = \frac{k^2-3k+2k-2}{2}= \frac{k^2-k-2}{2}=\frac{(k+1)(k-2)}{2}}\).
Z prawdziwości wzoru dla \(\displaystyle{ k}\) wynika prawdziwość dla \(\displaystyle{ k+1}\) więc na mocy indukcji zachodzi on dla wszystkich \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki