Matematyka.pl

Udowodnij że \(\displaystyle{ n^{4} +2n^3+2n^2+n}\) jest podzielne przez 6 dla dowolnej liczby naturalnej n.
Należy skorzystać z indukcji matematycznej.

Pokaż swoje próby.

JK

Wskazówka do drugiego kroku indukcyjnego: ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę n-tych potęg dla \(\displaystyle{ n=4, n=3, n=2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (n+1)^4-n^4=(n+1)^3+(n+1)^2 n+(n+1)n^2+n^3\\(n+1)^3-n^3=(n+1)^2+(n+1)n+n^2\\(n+1)^2-n^2=n+1+n}\)

Korzystając z tego, spróbuj więc zapisać
\(\displaystyle{ (n+1)^{4} +2(n+1)^3+2(n+1)^2+n+1}\)
w postaci \(\displaystyle{ n^{4} +2n^3+2n^2+n}\) plus jakaś "reszta", o której pokażesz, że dzieli się przez \(\displaystyle{ 6}\).
Swoją drogą lord Byron ładnie napisał o ludziach, którzy w takich zadaniach narzucają użycie indukcji matematycznej [w tłumaczeniu za książką W. Łysiaka Empirowy Pasjans]:
Zbrodnia szydząca, gdy głos cierpień kwili
(...)
Kły jemu dała tygrysie

Znacznie łatwiej (dużo mniej pisania, przy którym zawsze się można pomylić) jest bowiem udowodnić ten fakt bez żadnej indukcji. Jeśli dopiero zaczynasz z indukcją matematyczną, autorze wątku, to napisz tu proszę swoją próbę rozwiązania (w oparciu o tę wskazówkę lub nie), bo takie początki często łączą się z błędami (nie mówię, że u Ciebie tak musi być, ale lepiej mieć pewność, ze rozumowanie jest poprawne i dobrze zapisane).

Premislav pisze:Jeśli dopiero zaczynasz z indukcją matematyczną, autorze wątku,

W tym wieku to chyba dopiero zaczyna...

JK