Matematyka.pl

Mam do zrobienia kilka dowodów podzielności przy użyciu indukcji. 2 z nich:

\(\displaystyle{ 25 | 2^{n+6} + 5 \cdot n + 2^{n+1} + 11 \cdot 7^{n}}\)


\(\displaystyle{ 30 | -5 \cdot 8^{n} + 6 \cdot 7^{n} - 2^{n}}\)

dla n = 1,2,3,...

Równania dla n=1 są prawdziwe. Samą zasadę indukcji znam, ale nie wiem jak ugryźć te przykłady, więc fajnie, gdyby ktoś pokazał na nie jakiś sposób. Byłbym też wdzięczny za jakieś filmy/poradniki, bo na YT znalazłem tylko same łatwe przykłady

Ta pierwsza podzielność jest nieprawdziwa już dla \(\displaystyle{ n=2}\). Może niepoprawnie przepisałeś treść zadania?

Premislav, treść poprawnie przepisana, ale możliwe, że po prostu tej podzielności nie ma. Źle napisałem polecenie, powinno być 'sprawdź podzielność', nie 'udowodnij'. No i sam nie pomyślałem, by sprawdzać dla n=2...

Gdy wstawimy w tym pierwszym \(\displaystyle{ n=2}\), to otrzymamy
\(\displaystyle{ 2^8+5\cdot 2+2^3+11\cdot 7^2=813}\), a to raczej nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 25}\)...
Mnie też by nie przyszło do głowy, że to może nie być prawda, ale zauważyłem, że jakoś nie wychodzi przy próbie przeprowadzenia dowodu indukcyjnego.

Co do drugiego:
jeśli \(\displaystyle{ 30|(-5\cdot 8^n+6\cdot 7^n-2^n)}\), to zapiszmy:
\(\displaystyle{ -5\cdot 8^{n+1}+6\cdot 7^{n+1}-2^{n+1}=8\cdot (-5\cdot 8^n+6\cdot 7^n-2^n)-6\cdot 7^n+6\cdot 2^n=\\=8\cdot (-5\cdot 8^n+6\cdot 7^n-2^n)-6\cdot (7^n-2^n)}\)
i zauważmy, że z założenia indukcyjnego mamy
\(\displaystyle{ 30| 8\cdot (-5\cdot 8^n+6\cdot 7^n-2^n)}\),
pozostaje więc wykazać, że \(\displaystyle{ 30|6\cdot (7^n-2^n)}\),
ale ze wzoru na różnicę n-tych potęg mamy
\(\displaystyle{ 7^n-2^n=(7-2)(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+\dots+7\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})}\)
więc
\(\displaystyle{ 6\cdot (7^n-2^n)=30\cdot \dots}\)-- 29 maja 2017, o 20:47 --Aha, no i oczywiście zostawiam Ci pierwszy krok indukcyjny, napisałeś, że masz już to policzone.