Matematyka.pl

Jak udowodnic ze liczba e jest niewymierna ?

\(\displaystyle{ e=1+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+....}\), i...Jesliby \(\displaystyle{ e=\frac{p}{q}, p, q N}\), \(\displaystyle{ \alpha=eq!= q!+ \frac{q!}{2!}+.....\frac{q!}{q!}+ \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+.... N}\), tj. \(\displaystyle{ \beta =\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+.... N}\)....Ale \(\displaystyle{ \beta }\)

Można dużo prościej.

Dowód jest łatwy i wynika z wyrażenia górnego kresu szeregu, który jest napisany wyżej (ten pierwszy). Weźmy resztę szeregu:

\(\displaystyle{ \Large R_{n} < \frac{1}{1.2.3...n}\cdot \frac{1}{n}}\)

Z górnego kresu reszty wynika od razu, iż liczba e jest niewymierna, gdyby ta liczba wyrażała się w postaci ułamka \(\displaystyle{ \Large \frac{p}{q}}\), to pisząc:


\(\displaystyle{ \Large \frac{p}{q}=1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+\ldots+\frac{1}{1.2.3...q}+R_{q}}\)

i mnożąc obie strony przez iloczyn q!=1.2.3...q otrzymalibyśmy związek:

\(\displaystyle{ \Large p.1.2.3...(q-1)=1.2.3...q+3.4...q+....+q+1+R_{q}\cdot q!}\)

Ale związek taki jest niemozliwy, gdyż wszystkie wyrazy w nim są całkowite, z wyjątkiem wyrazu \(\displaystyle{ \Large R_{q}\cdot q!}\) dla którego mamy: (ze wzoru na resztę szeregu)

\(\displaystyle{ \Large R_{q}\cdot q! < \frac{1}{q}}\)