Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ (n-1)^2 > \frac{n-8}{n+1}}\).

Sprawdzenie: \(\displaystyle{ n=1}\) spełnia nierówność.

Założenie: \(\displaystyle{ (n-1)^2 > \frac{n-8}{n+1}}\).

Teza: \(\displaystyle{ n^2 > \frac{n-7}{n+2}}\).

Z założenia:

\(\displaystyle{ n^2 - 2n + 1 > \frac{n-8}{n+1}.\\
n^2 > \frac{n-8}{n+1} + 2n - 1 = 2n - \frac{9}{n+1}.}\)

Teraz jeśli \(\displaystyle{ 2n - \frac{9}{n+1} \ge \frac{n-7}{n+2}}\), to dowód będzie gotowy.

Ale po podstawieniu \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ -2.5 \not\ge -2}\).

I co teraz?

Nie zaprzecza to chyba samemu twierdzeniu, bo \(\displaystyle{ \frac{n-7}{n+2}}\) może być jednocześnie większe od \(\displaystyle{ 2n - \frac{9}{n+1}}\) i mniejsze od \(\displaystyle{ n^2}\), zgadza się?

Tylko nie wiem co mogę dalej zrobić.

\(\displaystyle{ n^2 > \frac{n-8}{n+1} + 2n - 1 > \frac{n-8}{n+2} + 2n - 1 > \frac{n-8}{n+2} + \frac{1}{n+2}}\)

bo \(\displaystyle{ 2n-1 \ge 1 > \frac{1}{n+2}}\)

Żeby zrozumieć sens indukcji, można o niej myśleć jak o wchodzeniu na drabinę. W klasycznej wersji pokazujemy, że można wejść na pierwszy szczebel, a potem pokazujemy, że jeśli jesteśmy na sszczeblu \(\displaystyle{ n}\) (dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\)) to da się wejść też na szczebel \(\displaystyle{ n+1}\). I to wystarcza, żeby dało się wejść dowolnie wysoko.

Ty w swoim zadaniu pokazałeś, że da się wejść na szczebel pierwszy (sprawdzając dla \(\displaystyle{ n=1}\)) oraz możesz pokazać kończąc drugi krok, że ze szczebla \(\displaystyle{ n}\) (ale tylko dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\)) da się wejść na szczebel \(\displaystyle{ n+1}\).

Aby wyciągnąć wniosek, że da się wejść dowolnie wysoko, wystarczy sprawdzić, że da się wejść na szczebel drugi, czyli, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=2}\). Bo to będzie oznaczało, że możemy wejść na pierwszy, na drugi, a potem zawsze możemy o jeden wyżej.

Kacperdev pisze:\(\displaystyle{ \frac{n-8}{n+1} + 2n - 1 > \frac{n-8}{n+2} + 2n - 1}\)

Ta nierówność nie jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n\le 8}\).

Q.

Inna sprawa, że indukcja tutaj jest sztuką dla sztuki: dla \(\displaystyle{ n>1}\) lewa strona jest \(\displaystyle{ \geq 1}\), a prawa zawsze #\(\displaystyle{ <1}\).

Proszę sprawdzić, nie jestem już pewien swoich dowodów

1 krok :
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest spełniona.
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mamy następującą nierówność :\(\displaystyle{ (n-1)^2 > \frac{n-8}{n+1}}\). A chcemy wykazać korzystając z naszego założenia że zachodzi :\(\displaystyle{ n^2 > \frac{n-7}{n+2}}\).

Wykonajmy poniższe przekształcenia.
\(\displaystyle{ n^2=(n-1+n)^2=(n-1)^2+2(n-1)n+n^2 > 2(n-1)n+n^2 + \frac{n-8}{n+1}}\). Tutaj skorzystałem z założenia indukcyjnego.
Szacujemy prawą stronę.
\(\displaystyle{ 2(n-1)n+n^2 + \frac{n-8}{n+1}=\frac{(n^2+2n(n-1))(n+1)}{n+1}+\frac{n-8}{n+1}=\frac{3n^3+n^2 -2n}{n+1} + \frac{n-8}{n+1}=\frac{3n^3+n^2-n-8}{n+1}>\frac{3n^3-8}{n+2}>\frac{2n^3-7}{n+2}>\frac{n-7}{n+2}}\)
Czyli ostatecznie mamy :\(\displaystyle{ n^2>\frac{n-7}{n+2}}\) po dość długim szacowaniu

Czy to jest w ogóle dobrze?

Źle jest juz na początku:
\(\displaystyle{ n^2\neq (n-1+n)^2}\)

Chyba założę nowe konto. Dzięki postaram się poprawić
.

-- 16 gru 2015, o 17:15 --

1 krok :
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest spełniona.
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mamy następującą nierówność :\(\displaystyle{ (n-1)^2 > \frac{n-8}{n+1}}\). A chcemy wykazać korzystając z naszego założenia że zachodzi :\(\displaystyle{ n^2 > \frac{n-7}{n+2}}\).

Wykonajmy poniższe przekształcenia.
\(\displaystyle{ n^2=(n-1+1)^2=(n-1)^2+2(n-1)+1>2(n-1)+1+\frac{n-8}{n+1}=\frac{(2n-1)(n+1)}{n+1}+\frac{n-8}{n+1}=\frac{2n^2+2n-9}{n+1}>\frac{n-7}{n+2}}\)
Czyli ostatecznie mamy :\(\displaystyle{ n^2>\frac{n-7}{n+2}}\). Było mniej roboty.

A czy teraz jest dobrze?-- 16 gru 2015, o 17:20 --Mam tylko pytanie . Czemu mogę pochopnie skorzystać z założenia że \(\displaystyle{ (n-1)^2 > \frac{n-8}{n+1}}\). Przecież nie mam pewności że ta nierówność jest prawdziwa.

Qń pisze:Żeby zrozumieć sens indukcji, można o niej myśleć jak o wchodzeniu na drabinę. W klasycznej wersji pokazujemy, że można wejść na pierwszy szczebel, a potem pokazujemy, że jeśli jesteśmy na sszczeblu \(\displaystyle{ n}\) (dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\)) to da się wejść też na szczebel \(\displaystyle{ n+1}\). I to wystarcza, żeby dało się wejść dowolnie wysoko.

Ty w swoim zadaniu pokazałeś, że da się wejść na szczebel pierwszy (sprawdzając dla \(\displaystyle{ n=1}\)) oraz możesz pokazać kończąc drugi krok, że ze szczebla \(\displaystyle{ n}\) (ale tylko dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\)) da się wejść na szczebel \(\displaystyle{ n+1}\).

Aby wyciągnąć wniosek, że da się wejść dowolnie wysoko, wystarczy sprawdzić, że da się wejść na szczebel drugi, czyli, że nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=2}\). Bo to będzie oznaczało, że możemy wejść na pierwszy, na drugi, a potem zawsze możemy o jeden wyżej.

Czyli, jeśli dobrze rozumiem, błąd popełniłem tutaj?

equanimity pisze:Teraz jeśli \(\displaystyle{ 2n - \frac{9}{n+1} \ge \frac{n-7}{n+2}}\), to dowód będzie gotowy.

Ale po podstawieniu \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ -2.5 \not\ge -2}\).

Sprawdzając nierówność znowu dla \(\displaystyle{ n=1}\), podczas gdy na tym etapie już "mowa była" o wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 2}\) ?

\(\displaystyle{ \frac{2n^2+2n-9}{n+1}>\frac{n-7}{n+2}}\)

A skąd taka nierówność? to własnie masz udowodnić...

Ponieważ wiemy że \(\displaystyle{ n>1 \wedge n^2>n}\) więc \(\displaystyle{ n-1>0}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{n^2+(n-1)+(n-1)-7}{n+1}>\frac{n^2-7}{n+1}>\frac{n-7}{n+1}>\frac{n-7}{n+2}}\).
Stąd ta nierówność , zwykłe szacowanie. Myślałem że to już widać na tamtym etapie.

Może i widać, ale dla \(\displaystyle{ n=5}\) twierdzisz w ostatniej nierówności, że \(\displaystyle{ \frac{-2}{6}>\frac{-2}{7}}\)

Faktycznie , trzeba uważać z szacowaniem. Można by w sumie skończyć na :\(\displaystyle{ \frac{n^2-7}{n+1}>\frac{n-7}{n+2}}\). Wiemy że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ n^2-7>n-7 \wedge n+1<n+2}\) co tłumaczy ostatnie przejście.

Wstaw \(\displaystyle{ n=1}\) i zobacz, czy tak jest

Ale mamy \(\displaystyle{ n>1}\) bo \(\displaystyle{ n=1}\) sprawdziliśmy w pierwszym kroku

Ale w kroku indukcyjnym musisz pokazać \(\displaystyle{ P(n) \Rightarrow P(n+1)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), włączając jedynkę.

-- 16 gru 2015, o 19:37 --

A najprościej zrobić to tak: dla \(\displaystyle{ n\leq 8}\) nierównośc jest oczywista, a dla \(\displaystyle{ n>8}\) przechodzą już przytaczane argumenty indukcyjne.

-- 16 gru 2015, o 20:07 --

No dobra: zróbmy to od samego początku.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest OK. Załózmy prawdziwośc dla \(\displaystyle{ n}\).

\(\displaystyle{ n^2=(n-1+1)^2=(n-1)^2+2n\red>\black\frac{n-8}{n+1}+2n}\)
\(\displaystyle{ \red>}\)z założenie indukcyjnego.

Aby zakończyć dowód musimy pokazać, że
\(\displaystyle{ \frac{n-8}{n+1}+2n>\frac{n-7}{n+2}}\)
lub równoważnie
\(\displaystyle{ 0<2n+\frac{n-8}{n+1}-\frac{n-7}{n+2}}\)
ale
\(\displaystyle{ 2n+\frac{n-8}{n+1}-\frac{n-7}{n+2}=2n+\frac{-9}{(n+1)(n+2)}}\)
Oba składniki tej sumy rosną, a dla \(\displaystyle{ n=1}\) to wyrażenie jest dodatnie, co kończy dowód kroku indukcyjnego.