Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 3^{k} \le k!+9}\)
Prosilbym o wytłumaczenie krok po kroku jak to rozwiązać. Dzięki

ale to nie jest prawda dla dowolnego k, np:

\(\displaystyle{ 3^3=27>15=6+9=3!+9}\)

jakieś dodatkowe założenia?

Polecenie to wyznaczyć zbiór liczb k dla których nierówność zachodzi, wybacz..

dosyć prosta droga byłaby taka:

dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5,6}\) sprawdzić na piechotę podstawiając

natomiast dla wszystkich \(\displaystyle{ k \ge 7}\) łatwo przez indukcję pokazać , że

\(\displaystyle{ 3^k \le k!}\)

więc tym bardziej \(\displaystyle{ 3^k \le k!+9}\)

Jak to pokazać przez induckje ??

\(\displaystyle{ 3^7=2187 \le 5040=7!}\)

oraz przy tych założeniach przechodzi takie wnioskowanie w kroku indukcyjnym :

\(\displaystyle{ 3^{k+1}=3 \cdot 3^k \le 3k! \le (k+1)k!=(k+1)!}\)