Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A= \sum_{i=1}^{r} x_{i} 10^{i-1}}\) będzie całkowitą dodatnią liczbą \(\displaystyle{ r}\) cyfrową. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \forall_{r\ge5} \ 81 r^{2} < 10^{r-1} -1 \le A}\).

Wygodniej będzie rozbić to na dwie nierówności:
I \(\displaystyle{ 81r^{2}<10^{r-1}-1}\)
oraz
II \(\displaystyle{ 10^{r-1} -1 \le A}\)

Tę pierwszą łatwo można udowodnić indukcyjnie (wskazówka do drugiego kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ 10^{r}-1=10(10^{r-1}-1)+9>10 \cdot 81r^{2}+9}\)), a druga jest oczywista, bo skoro \(\displaystyle{ A}\) ma być liczbą r-cyfrową, to \(\displaystyle{ x_{r}}\) jest równe co najmniej \(\displaystyle{ 1}\), a wszystkie składniki są nieujemne.

Prawa nierówność jest oczywista z racji tego, że \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ r}\) cyfr a środek dokładnie \(\displaystyle{ r-1}\). Co do lewej nierówności, to można ją dowodzić na przykład indukcyjnie. Zaczynamy od \(\displaystyle{ r=5}\) i teza jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ 81 \cdot 25 =2025 <9999 = 10^{4}-1}\).
Niech więc teza działa dla pewnego \(\displaystyle{ r}\). Pokażemy ją dla \(\displaystyle{ r+1}\).
Mamy \(\displaystyle{ 81\left(r+1\right)^{2} = 81r^{2} + 162r + 81 <3 \cdot 81r^{2} <10 \cdot 81r^{2} < 10 \cdot \left(10^{r-1}-1\right) < 10^{r}-1}\)
Szacowanie jest bardzo grube.

Dziękuję!