Matematyka.pl

Udowodnij indukcję matematyczną.
Wiem, że muszą być spełnione 3 warunki:
1. sprawdzać równanie \(\displaystyle{ n=1}\)
2.założyć że równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \ge 1}\)
3.udowodnić prawdziwość równania dla \(\displaystyle{ k+1}\)

Z prostymi przykładami sobie radziłem ale z sumą jakoś nie umiem tego zrobić
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i ^{2}= \frac{n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) }{6}}\)

Zapisz kroki odpowiednio, jakie masz w podpunktach i pokaż gdzie pojawia się problem.

1.
\(\displaystyle{ L= \sum_{i=1}^{1}= 1^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1(1+1)(2+1)}{6}= \frac{6}{6}=1}\)
2.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}i ^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}\)
3.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+k+1}i ^{2} = \frac{(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]}{6}}\)

Co dalej?

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}i^{2}=(k+1)^{2}+ \sum_{i=1}^{k}i^{2}=[\text{ założenie indukcyjne }]=(k+1)^{2}+ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}= \\=\frac{6(k+1)^{2}+k(k+1)(2k+1)}{6}}\)
i teraz w liczniku wyciągnij \(\displaystyle{ k+1}\), po czym rozłóż trójmian.

Premislav, teraz to nie wiem co się stało, to jest punkt 2?

Ja nie lubię dzielenia na punkty, kroki itp. Przekształcam to, co miałeś w 3. (ale z niepoprawnym indeksem górnym, powinno tam być \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}i^{2}}\)), korzystając z 2. Po prostu wyłączyłem ostatni składnik, który jest równy \(\displaystyle{ (k+1)^{2}}\), a więc mamy \(\displaystyle{ (k+1)^{2}+ \sum_{i=1}^{k}i^{2}}\) i za te ostatnią sumę podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}\) z punktu 2. (tj. z założenia indukcyjnego).