Udowodnij indukcyjnie

miki314 · Post autor: **miki314** » 12 gru 2015, o 22:07

\(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n \right)}^2 = \frac{n^2 { \left( n + 1 \right)}^2}{4}}\)

1.
n=1

L(1)=1 P(1)=1

2.
zał. \(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n \right)}^2 = \frac{n^2 { \left( n + 1 \right)}^2}{4}}\)

Teza

\(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 = \frac{ {\left( n+1 \right)}^2 { \left( n + 2 \right)}^2}{4}}\)

Dowód

\(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 = \frac{n^2 { \left( n + 1 \right)}^2}{4} + \frac{{\left( n + 1\right)}^2 {\left( n + 2 \right)}^2 - {\left( n + 1 \right)}^2 n^2 }{4}}\)

Czy to rozumowanie jest poprawne?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 12 gru 2015, o 22:11

Przewaga formy nad treścią. Wykazałbym, że \(\displaystyle{ 1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}}\), a teza wynika z obustronnego podniesienia do kwadratu.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2015, o 23:42

A skąd wynika ta ostatnia równość? Rozpisz to.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 12 gru 2015, o 23:43

Też się dowodzi indukcyjnie.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2015, o 00:13

Chodziło mi o to:
\(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 = \frac{n^2 { \left( n + 1 \right)}^2}{4} + \frac{{\left( n + 1\right)}^2 {\left( n + 2 \right)}^2 - {\left( n + 1 \right)}^2 n^2 }{4}}\)

miki314 · Post autor: **miki314** » 13 gru 2015, o 11:57

\(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 =\frac{n^2 { \left( n + 1 \right)}^2}{4} +\left( { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 - { \left( 1 + 2 + ... + n \right)}^2 \right)}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2015, o 12:04

No dobra. I co dalej? Bo ten zapis to nie to samo co wyżej.

Nie wolno Ci korzystać z \(\displaystyle{ { \left( 1 + 2 + ... + n + \left( n +1 \right) \right)}^2 = \frac{ {\left( n+1 \right)}^2 { \left( n + 2 \right)}^2}{4}}\), bo to własnie masz udowodnić.

miki314 · Post autor: **miki314** » 13 gru 2015, o 12:14

Czyli jak mam się do tego zabrać?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2015, o 12:26

Jak nie chcesz korzystać z wersji uproszczonej (czyli bez kwadratów), to tak:
\(\displaystyle{ { \left(( 1 + 2 + ... + n )+ \left( n +1 \right) \right)}^2=\\
\red{ \left( 1 + 2 + ... + n \right)^2}+2\green{\left( 1 + 2 + ... + n \right)}(n+1)+(n+1)^2}\)
i tu zastosuj założenie indukcyjne do kolorowych kawałków