Matematyka.pl

Na wstępię zaznaczę, że jedyną indukcyjną rzeczą z jaką miałem styczność do przedwczoraj była płyta grzewcza, więc proszę o wyrozumiałość.

Mam trudność z następującym zadaniem:

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3n > \sqrt{n} + 1}\).

Więc robię to tak:

(1) Sprawdzenie: dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność jest spełniona.

(2) Krok indukcyjny:

Założenie: \(\displaystyle{ 3n > \sqrt{n} + 1}\)

Teza: \(\displaystyle{ 3(n+1) > \sqrt{n+1} + 1}\)

Jeśli dobrze rozumiem, muszę założenie tak zmanipulować żeby odpowiadało tezie, czyli:

\(\displaystyle{ 3n+3 = 3(n+1) > \sqrt{n} + 3 + 1}\)

Teraz jeśli uda mi się udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{n} + 3 \ge \sqrt{n+1}}\) dla każdego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) to wedug przechodniości nierówności dowód będzie zakończony.

Tylko właśnie to udowodnienie mi nie idzie, próbowałem milion razy to podejść i nie ogarniam.

W podręczniku Operonu (Pawłowskiego) jest kilka przykładów indukcji z nierównościami, ale rozwiązania są tylko z tą przechodniością. Nie ma jakiegoś innego sposobu? No i co jeśli prawa strona z przekształconego założenia byłaby mniejsza od prawej strony tezy?

Byłbym wdzięczny jakby ktoś mógł sprawdzić poprawność rozumowania i dokończyć rozwiązanie z wyjaśnieniem.

equanimity pisze:Teraz jeśli uda mi się udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{n} + 3 \ge \sqrt{n+1}}\) dla każdego dodatniego \(\displaystyle{ n}\) to wedug przechodniości nierówności dowód będzie zakończony.

Tylko właśnie to udowodnienie mi nie idzie, próbowałem milion razy to podejść i nie ogarniam.

A podnosiłeś obie strony nierówności do kwadratu (można, bo obie strony są nieujemne)?

JK

A może zrobić tak: przenieś 1 na lewą stronę i podnieś obie strony nierówności do kwadratu. Wtedy zobaczysz, że dla każdej liczby naturalnej nierówność jest spełniona. Nie trzeba do tego indukcji.

Jan Kraszewski pisze:A podnosiłeś obie strony nierówności do kwadratu (można, bo obie strony są nieujemne)?

JK

Faktycznie można, dzięki.

Czyli tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{n}+3 > \sqrt{n+1}\\
n + 6\sqrt{n} + 9 > n+1\\
6\sqrt{n} + 9 > 1}\)

I nierówność jest spełniona, bo \(\displaystyle{ 6\sqrt{n} > 0}\). Zgadza się?

Dilectus pisze:A może zrobić tak: przenieś 1 na lewą stronę i podnieś obie strony nierówności do kwadratu. Wtedy zobaczysz, że dla każdej liczby naturalnej nierówność jest spełniona. Nie trzeba do tego indukcji.

Rzeczywiście, ale zadanie było w rozdziale o indukcji, więc myślę, że nie takiego rozwiązania ode mnie autor oczekuje.

equanimity pisze:I nierówność jest spełniona, bo \(\displaystyle{ 6\sqrt{n} > 0}\). Zgadza się?

Tak.

JK

PS. Choć to, czy \(\displaystyle{ 6\sqrt{n} > 0}\), czy \(\displaystyle{ 6\sqrt{n} \ge 0}\) zależy od tego, czy zero jest dla nas naturalne, czy nie.