Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{n^{5}}{5}+ \frac{n^{3}}{3}+ \frac{7n}{15}}\) jest liczbą naturalną.

To nieprawda, rozważ \(\displaystyle{ n=\pi}\). A teraz na serio...
Mamy
\(\displaystyle{ \frac{n^{5}}{5}+ \frac{n^{3}}{3}+ \frac{7n}{15}= \frac{3n^{5}+5n^{3}+7n}{15}}\), wystarczy zatem wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego mamy
\(\displaystyle{ 15| 3n^{5}+5n^{3}+7n}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 3n^{5}}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 5n^{3}}\), a także \(\displaystyle{ 15=3\cdot 5}\) i \(\displaystyle{ (3,5)=1}\), zatem wystarczy wykazać, że
dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 5n^{3}+7n}\) oraz liczba \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 3n^{5}+7n}\)
Ale \(\displaystyle{ 5n^{3}+7n=6n(n^{2}+1)-n^{3}+n=n\left[ 6(n^{2}+1)-(n^{2}-1)\right]}\). Jeśli \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to to wyrażenie jest oczywiście podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), zaś jeśli \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ n^{2}\equiv 1\pmod{3}}\), zatem \(\displaystyle{ 3|n^{2}-1}\), więc także \(\displaystyle{ 3| 6(n^{2}+1)-(n^{2}-1)}\)
Teraz pokażmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego
\(\displaystyle{ 3n^{5}+7n}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 5}\). Mamy
\(\displaystyle{ 3n^{5}+7n=5n^{5}+5n-2n^{5}+2n=5n(n^{4}+1)-2n(n^{4}-1)=n\left[ 5(n^{4}+1)-2(n^{4}-1)\right]}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ 5n(n^{4}+1)}\), a więc jeśli \(\displaystyle{ 5}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), to z Małego Twierdzenia Fermata \(\displaystyle{ n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}}\), a więc zawartość kwadratowego nawiasu dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\) jako różnica liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\), zaś jeśli \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to także \(\displaystyle{ 5}\) dzieli \(\displaystyle{ n\left[ 5(n^{4}+1)-2(n^{4}-1)\right]}\).

Albo w jednej linijce:
\(\displaystyle{ \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+n-\frac{n}{5}-\frac{n}{3}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n}\).

Z MTF wynika, że dwa ostatnie składniki są naturalne

dec1 pisze:Z MTF wynika, że dwa ostatnie składniki są naturalne

Chyba dwa pierwsze... I po co od razu MTF, wystarczy przecież rozłożyć \(\displaystyle{ n^5-n}\) i \(\displaystyle{ n^3-n}\).

JK

Mały błąd, oczywiście chodziło o dwa pierwsze

Czemu nie używać MTF skoro natychmiastowo daje wynik?

dec1 pisze:Czemu nie używać MTF skoro natychmiastowo daje wynik?

Bo trzeba je znać, a to nie jest wiedza powszechna. A rozkład wymaga tylko wzorów skróconego mnożenia (i potem odrobiny spostrzegawczości).

JK

Z drugiej strony spostrzegawczość jest mniej powszechna niż znajomość materiału.

Ale jak ktoś zna i rozumie MTF to chyba jest odrobinę spostrzegawczy. Na tyle , aby taki rozkład zrozumieć.

Jeszcze inaczej:

\(\displaystyle{ \frac{n^5}5+\frac{n^3}3+\frac{7n}{15}=24\cdot{n+2\choose5}+8\cdot{n+1\choose3}+n}\)

andkom, ładne.

JK