Matematyka.pl

Mam problem ze zrozumieniem dowodu twierdzenia o definiowaniu przez indukcję z książki Guzickiego i Zakrzewskiego "Wykłady ze wstępu do matematyki" Dokładniej, nie rozumiem jak z twierdzenia:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{A}=(A,a,f)}\) będzie algebrą Peano i niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}=(B,b,g)}\) będzie dowolną algebrą podobną do \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\). Istnieje wtedy dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ F:A \rightarrow B}\) taka, że: \(\displaystyle{ F(a)=b}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) zachodzi
\(\displaystyle{ F(f(x))=g(F(x))}\)

wynika następujące twierdzenie:

Dany jest niepusty zbiór \(\displaystyle{ A}\), element \(\displaystyle{ a}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz funkcja \(\displaystyle{ \phi:A \rightarrow A}\). Wówczas istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{N} \rightarrow A}\) spełniająca nastęujące dwa warunki: \(\displaystyle{ f(0)=a}\) oraz \(\displaystyle{ f(n+1)=\phi(f(n))}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\).

W książce tej podane jest to jako oczywisty wniosek z powyższego twierdzenia bez żadnego uzasadnienia. Nie potrafię tego sam udowodnić. Proszę o pomoc

Stosujesz wspomniane twierdzenie do \(\displaystyle{ \mathbb{A}=(\NN,0,succ)}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{B}=(A,a,\phi)}\), gdzie \(\displaystyle{ succ(n)=n+1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\).

JK

Też tak myślałem, ale wtedy trzeba sprawdzić założenie pierwszego twierdzenia, że

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=(A,a,\phi)}\) jest podobne do \(\displaystyle{ \mathbb{A}=(\NN,0,succ)}\)

W tej książce nie ma do końca powiedziane co to znaczy podobne, ale z tego co się domyślam znaczy to to samo co izomorficzne. Chyba, że się mylę.

Łatwo wskazać \(\displaystyle{ (A,a,\phi)}\), które nie jest izomorficzne z algebrą Peano. Podobne musi znaczyć coś innego.

Podejrzewam, że chodzi o tę samą sygnaturę.

JK