Matematyka.pl

Mam kilka zadań z induknji a nie mam pojecia jak sie za takie zadania zabierac

Wykaz ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi równość:

1)\(\displaystyle{ 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)}\)

2)\(\displaystyle{ (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})*...*(1-\frac{1}{(n+1)^{2}})=\frac{n+2}{2(n+1)}}\)

Wykaż ze dla dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n:

3)liczba \(\displaystyle{ 3^{4n+2}+1}\) jest podzielna przez 10

4)liczba \(\displaystyle{ n^{3}+17n}\) jest podzielne przez 6

Wykaż ze dla kazdej liczby naturalnej n spełniającej podany warunek zachodzi nierówność:

5)\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}}\)

6)\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Za każdą pomoc z góry dzięki

Pierwsze sprawdzasz czy dla każdego n lewa strona równa sie prawej stronie.
Czyli w pierwszem przykładzie będzie coś takiego:
dla n=1
L=\(\displaystyle{ 1^{3}=1}\)
P=\(\displaystyle{ 1*(2-1)=1}\)
czyli L=P
Jak to sie zgadza to zamieniasz sobie n na k:
(n=k)
\(\displaystyle{ 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2k-1)^{3}=k^{2}*(2k^{2}-1)}\)
Teraz zamieniasz sobie k na k+1
(k=k+1)
\(\displaystyle{ 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2k-1)^{3}+(2k+2)^{3}=(k+1)^{2}*(2(k+1)^{2}-1)}\)
Teraz za \(\displaystyle{ 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2k-1)^{3}}\) wstawiasz \(\displaystyle{ k^{2}*(2k^{2}-1)}\) do rówania (k=k+1) i udawadniasz że L=P.

Czyli to ma tak wyglądać:

\(\displaystyle{ k^{2}*(2k^{2}-1)=(k+1)^{2}*(2(k+1)^{2}-1)}\)

i teraz bierzemy np\(\displaystyle{ k=2}\)

no i wychodzi 28=28

Oto w tym chodzi??

Za n wstawiasz liczbe tylko na początku, gdy sprawdzasz czy dla dowolnego n lewa strona równania(L) równa sie prawej stronie równania(P).
Teraz za n wstawiasz k do rownania.
Jak to wstawisz to robisz dowód.
D: k=k+1
No i jedziesz od lewej strony równania próbujesz dojść do prawej. Ale nie podsatwiasz żadnych liczb, tylko algebraicznie.


\(\displaystyle{ L=k^{2}*(2k^{2}-1)+(2k+2)^{3}=...}\)

teraz już czaje jak za takie zadania sie zabierać. Dzięki

Czyli z pozostalymi zadaniami sobie poradzisz? Np. 6. bylo niedawno na forum, poszukaj.