Matematyka.pl

Cześć!
Przeprowadzam dowód polegający na tym, że suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą. Mam problem z pewnym przejściem:

niech dla \(\displaystyle{ m \ge 2}\) spełniona będzie nierówność:

\(\displaystyle{ (f _{1}+...f _{m}) (\lambda x+(1- \lambda )y) \le \lambda( f _{1}(x)+f _{m}(x)) + (1- \lambda(f _{1}(y)+...f _{m} (y)).}\)

pokażemy, że spełniona jest także dla \(\displaystyle{ m+1}\):

\(\displaystyle{ (f _{1}+...f _{m}+f _{m+1} ) (\lambda x+(1- \lambda )y)=f _{1} (\lambda x+(1- \lambda )y) +
\sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y)=
f _{1} (\lambda x+(1- \lambda )y) +\sum_{j=1}^{m} (f _{j}) (\lambda x+(1- \lambda )y) \le
\lambda f _{1}(x) +(1-\lambda)f _{1}(y) +\left[ \lambda f _{1}(x) +(1-\lambda)f _{1}(y) + ... + \lambda f _{m}(x) +(1-\lambda)f _{m}(y)\right]}\).

Pytanie - co dalej, skoro dubluje mi się funkcja \(\displaystyle{ f _{1}}\)?
Proszę o pomoc.

Aha, czyli twierdzisz, że dla dowolnych funkcji wypukłych \(\displaystyle{ f_{1},...f_{m+1}}\) mamy zawsze
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{m+1} f_{i}(\lambda x+(1-\lambda)y)= \sum_{i=1}^{m}f_{i}(\lambda x+(1-\lambda)y)}\)?
Coś "chyba" nie tak. No popatrz, przecież zmieniłeś indeksy w tej sumie \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{m+1} f_{i}}\) i wystąpiła po prostu kolizja oznaczeń. Trudniej byłoby się pomylić, gdybyś "wyróżnił" \(\displaystyle{ f_{m+1}}\) zamiast \(\displaystyle{ f_{1}}\) (choć to w sumie to samo).

W takim razie jak to ruszyć, aby w tym ostatnim kroku wykorzystać założenie?

\(\displaystyle{ (f _{1}+...f _{m}+f _{m+1} ) (\lambda x+(1- \lambda )y)=f _{1} (\lambda x+(1- \lambda )y) + \sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y)}\)

Do tego miejsca było OK. Teraz skorzystaj z założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{m+1} (f _{i}) (\lambda x+(1- \lambda )y)}\) jest sumą \(\displaystyle{ m}\) funkcji wypukłych, czyli z założenia indukcyjnego - funkcją wypukłą. No i
\(\displaystyle{ f_{1}}\) jest wypukła. Skorzystaj z nierówności, które z tego wynikają.-- 14 maja 2016, o 12:03 --I naprawdę nie musisz zmieniać indeksów. Indukcja jest po liczbie funkcji, które sumujesz, a nie po jakichś indeksach.