Matematyka.pl

Witam.

Potrzebuję pomocy z pewnym zadaniem.

Polecenie:

Sprawdź, dla jakich liczb naturalnych prawdziwe są następujące nierówności:

\(\displaystyle{ n^{2} \cdot 2^{n} < n^{2}+n-2}\)

Problem polega na tym, że z tego co sobie wyliczyłem dla każdej liczby naturalnej nierówność jest nieprawdziwa. Co dalej mam zrobić? To kończy zadanie czy muszę jeszcze coś zrobić z tą zasadą indukcji matematycznej?

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc

Zrobiłem tak jak proponowałeś ale nadal mam kłopoty. Nie jestem najlepszy z indukcji.

Przechodząc do rzeczy.

Nierówność wygląda tak:

\(\displaystyle{ n^{2} \cdot 2^{n} < n^{2} + n-2}\)

Nierówność odwrotna tak:

\(\displaystyle{ - n^{2} \cdot -2^{n} > -n^{2} - n +2}\)

Dalej wykonuje KROK 1:

Niech \(\displaystyle{ L(n)= -n^{2} \cdot - 2^{n} , P(n)= - n^{2} - n + 2}\)
dla:\(\displaystyle{ - n=0 -> L(0)=0, P(0)=2}\)
\(\displaystyle{ - n=1 -> L(1)=2, P(1)=0}\), nierówność zachodzi
\(\displaystyle{ - n=2 -> L(2)=16, P(2)=-4}\), nierówność zachodzi
Z obliczeń wynika, że \(\displaystyle{ L(1)>P(1)}\)

KROK 2

Załóżmy, że \(\displaystyle{ L(n)>P(n)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\). Pokażemy że \(\displaystyle{ L(n+1)>P(n+1)}\)

Liczymy:

\(\displaystyle{ L(n+1)=- (n+1)^{2} \cdot -2^{n+1}}\) <- tutaj nie wiem jak zrobić żeby było coś takiego \(\displaystyle{ L(n+1)= L(n)+}\) coś

\(\displaystyle{ P(n+1)= - (n+1)^{2} -(n+1)+2= -n^{2}-3n+2=P(n) -2n}\)

I tutaj zaczyna się mój problem bo nie wiem co należy zrobić dalej.

Proszę o pomoc i z góry dziękuję.

stowky pisze:Nierówność wygląda tak:

\(\displaystyle{ n^{2} \cdot 2^{n} < n^{2} + n-2}\)

Nierówność odwrotna tak:

\(\displaystyle{ - n^{2} \cdot -2^{n} > -n^{2} - n +2}\)

Nierówność odwrotna wygląda tak:

\(\displaystyle{ n^{2} \cdot 2^{n} > n^{2} + n-2}\)

JK

Rzeczywiście, mój błąd!

W tym momencie nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 0}\)

I w tym momencie \(\displaystyle{ P(n+1)= (n+1)^{2} +n+1 -2 = n^{2}+3n= P(n)+2n+2}\)

Natomiast dalej nie wiem jak przedstawić lewą stronę.

Dochodzę do tego momentu i nie wiem co dalej:

\(\displaystyle{ L(n+1)= (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}= (n^{2}+2n+1) \cdot 2^{n+1}}\)

Czy wystarczy, że po prostu napiszę:

\(\displaystyle{ (n^{2}+2n+1) \cdot 2^{n+1}>P(n)+2n+2}\)

i potem tę regułkę, że na mocy indukcji matematycznej \(\displaystyle{ L(n)>P(n),}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\) ?

Wydaję mi się że nie ponieważ w kroku 1 lewa strona jest większa od prawej dla \(\displaystyle{ n>0}\), natomiast gdy zaczynam drugi krok i podstawię sobie \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ L(n+1)}\) i \(\displaystyle{ P(n+1)}\) to wtedy lewa strona jest większa od prawej dla \(\displaystyle{ n>1}\).

Naprawdę nie wiem co dalej zrobić. Jeśli chodzi o indukcję to jestem zielony.

Bardzo proszę o pomoc

\(\displaystyle{ L(n+1)= (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}= (n^{2}+2n+1) \cdot 2^{n+1}=2n^22^n+2^{n+2}n+2^{n+1}=}\)

\(\displaystyle{ =2L(n)+2^{n+2}n+2^{n+1}>2P(n)+2^{n+2}n+2^{n+1}>P(n+1)}\) koniec.

Duzo łatwiej będzie pokazać nierówność
\(\displaystyle{ 2^n>1+\frac{n-2}{n^2}}\), bo lewa strona jest większa lub równa od dwóch, a lewa???