Matematyka.pl

Zadanie brzmi: wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N \wedge n \ge 1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 9^{n} -1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\).
Postanowiłem wykazać owe twierdzenie za pomocą indukcji matematycznej, proszę o sprawdzenie czy moje rozumowanie jest poprawne, a jeśli nie to dlaczego

1.
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ 9^{1} - 1=8}\) - jest okej.
2.
\(\displaystyle{ 9^{n} -1=8k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)
\(\displaystyle{ 9^{n}=8k+1}\)
3.
\(\displaystyle{ 9^{n+1}-1=9^{n}\cdot9-1=(8k+1)\cdot9-1=72k+8=8(9k+1)}\)
A więc na mocy indukcji matematycznej udowodniłem, że wyrażenie wejściowe jest podzielne przez 8 dla każdego \(\displaystyle{ n \in N \wedge n \ge 1}\).

OK.