Matematyka.pl

Witam, miałem do zrobienia 15 zadanek z indukcji dotyczących podzielności i to forum pomogło mi rozwiązać aż 11 Dzięki wielkie. Poniżej postaram się zamieścić 4 pozostałe.

Treść wszystkich zadań to naturalnie: wykazać indukcyjnie, że liczba o danej postaci jest podzielna przez daną liczbę dla wszystkich naturalnych n.

1) \(\displaystyle{ 5^{n} + 2* 3^{n-1 } + 1}\) jest podzielne przez 8
2) \(\displaystyle{ 2^{n+2} + 3^{2n+1}}\) jest podzielne przez 7
3) \(\displaystyle{ 6^{2n-2} + 3^{n+1} + 3^{n-1}}\) jest podzielne przez 11
4) \(\displaystyle{ 5^{2n-1}*2^{n+1} + 3^{n+1} * 2^{2n-1}}\) jest podzielne przez 38

[ Dodano: 14 Październik 2006, 18:38 ]

witam próbowalem zrobic to zadanie i na koncu cos mi wyszlo ze byla tam cyfra 8 i 4 no i inne z tego trzeba by wylaczyc 8 przed nawias i mamy wykazane ale wydaje mi sie ze musza byc liczby calkowite i 1/2 nie moze tam byc.Czy wie ktos cos na ten temat??w podobnych zadaniach bylo identycznie: 6s+3k(k+1)=6s+3*2c=6(a+c)
bo wiadomo ze k*(k+1) jest podzielne przez 2 czy wie ktos jak to zrobic w zadaniu a ktore podal jarekexe??[/fade][/code]

1.Sprawdzienie dla n=1
\(\displaystyle{ \large 5^1+2\cdot 3^0+1=8}\)
Zał.
\(\displaystyle{ \large 5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=8k}\)
Teza
\(\displaystyle{ \large 5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=8k_1}\)
Dowód
\(\displaystyle{ \large 5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+6\cdot 3^{n-1}+1=5^n+2\cdot 3^{n-1}+1+4\cdot 5^n +4\cdot 3^{n-1}=\\=8k+4\underbrace{(5^n+3^{n-1})}_{2k_2}=8k+8k_2=8(k+k_2)=8k_1}\)

[ Dodano: Pon Paź 16, 2006 4:12 pm ]
2. Dla n=0
\(\displaystyle{ \large 2^2+3^1=7}\)
Zał
\(\displaystyle{ \large 2^{n+2}+3^{2n+1}=7m}\)
Teza
\(\displaystyle{ \large 2^{n+3}+3^{2n+3}=7m_1}\)
Dowód
\(\displaystyle{ \large 2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot 2^{n+2}+9\cdot 3^{2n+1}=\\=2(2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}=14m+7\cdot 3^{2n+1}=7(2m+3^{2n+1})=7m_1}\)

[ Dodano: Pon Paź 16, 2006 4:22 pm ]
3. n=1
\(\displaystyle{ \large 6^0+3^2+3^0=11}\)
zał
\(\displaystyle{ \large 6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1}=11p}\)
teza
\(\displaystyle{ \large 6^{2n}+3^{n+2}+3^{n}=11p_1}\)
dowód
\(\displaystyle{ \large 6^{2n}+3^{n+2}+3^{n}=36\cdot 6^{2n-2}+3\cdot 3^{n+1}+3\cdot 3^{n-1}=\\=33\cdot 6^{2n-2}+3(6^{2n-2}+3^{n+1}+3^{n-1})=11\cdot 3\cdot 6^{2n-2}+3\cdot 11p=11(3\cdot 6^{2n-2}+3p)=11p_1}\)

[ Dodano: Pon Paź 16, 2006 4:41 pm ]
4. n=1
\(\displaystyle{ \large 5\cdot 4+9\cdot 2=38}\)
Zał
\(\displaystyle{ \large 5^{2n-1}\cdot 2^{n+1}+3^{n+1}\cdot 2^{2n-1}=38s}\)
Teza
\(\displaystyle{ \large 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=38s_1}\)
dowód
\(\displaystyle{ \large 5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=50\cdot 5^{2n-1}\cdot 2^{n+1}+12\cdot 3^{n+1}\cdot 2^{2n-1}=\\=38\cdot 5^{2n-1}\cdot 2^{n+1}+12\underbrace{(5^{2n-1}\cdot 2^{n+1}+3^{n+1}\cdot 2^{2n-1})}_{38s}=38( 5^{2n-1}\cdot 2^{n+1}+s)=38s_1}\)

\(\displaystyle{ k_i,m_i,p_i,s_i\in\mathbb{N}}\)