Podzielność przez 14 - indukcja

John Til · Post autor: **John Til** » 23 paź 2004, o 23:10

Udowodnij, że dla każdego n>=1 14|3^(4n-2) + 5^(2n-1)

Rozpisuje dla 1 i wychodzi, potem założenie:

3^(4k-2) + 5^(2k-1) = 14s, gdzie s należy do N

teza:

3^(4k+2) + 5^(2k+1) = 14s', gdzie s' należy do C

no i przy dowodzie się gubię, bo nie wiem jak przekształcić teze aby gdzieś tak przemienić żeby dało się wyrażenie zastąpić tym 14s.

Arek · Post autor: **Arek** » 24 paź 2004, o 12:54

Napisz, gdzie się zgubiłeś, bo część tego rozwiązania jest chyba oczywista, a tylko gdieniegdzie są pewne trudności. Przeczytaj także wątek regulaminowy o pisaniu tematów... nie używamy w temacie wyrazów "zadanie" - za mało precyzyjne... [zadań z indukcji było tu już sporo - proponuje "podzielność przez 14 - indukcja"]

pozdr.

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 24 paź 2004, o 14:08

3^(4n-2) + 5^(2n-1)=3^2(2n-1)+5^(2n-1)=9^(2n-1)+5^(2n-1)=14^(2n-1)

John Til · Post autor: **John Til** » 24 paź 2004, o 15:11

wydaje mi się że powinienem z tezy do tego dojść...

chlip · Post autor: **chlip** » 24 paź 2004, o 23:50

Skrzypu napisał

9^(2n-1)+5^(2n-1)=14^(2n-1)

mam pytanie skąd to sie wzięło, bo ja nie wiem!!
a^n+b^n=(a+b)^n ????
prosze, przemyśl to jeszcze raz
poza tym należy przekształcać teze w ten sposób aby ewentualnie można było podstawić założenie

Pikaczu · Post autor: **Pikaczu** » 25 paź 2004, o 00:14

Naprawde nikt nie kwapi się aby to zrobić?

To może Ja napisze:

- dla 1 spełnione bo widać

- załozenie: 14|3^(4n-2) + 5^(2n-1)

- teza: 14|3^(4(n+1)-2) + 5^(2(n+1)-1)

Przekształcamy sobie wyrażenie 3^(4(n+1)-2) + 5^(2(n+1)-1) i dostajemy:
81*3^(4n-2)+25*5^(2n-1)=25*(3^(4n-2) + 5^(2n-1)) + 56*3^(4n-2)=
25*(14*s) + 14*(4*3^(4n-2))=14*(25s + 4*3^(4n-2)) czyli to wyrażenie jest podzielne przez 14. cnd

John Til · Post autor: **John Til** » 25 paź 2004, o 01:02

Dzięki Pikaczu:). Zadanie to miałem na szóstke, na kartkówce z indukcji właśnie:)