Matematyka.pl

Domyslam sie, ze \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_+}\).

Sprobuj to udowodnic metoda indukcji matematycznej, latwo 'idzie'. W razie problemow pisz.

Krok pierwszy jest elementarny.

Krok drugi dla 1 nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2n\sqrt{n}}{3}+\sqrt{n+1}>\frac{2(n+1)\sqrt{n+1}}{3}}\)
\(\displaystyle{ 4n^3+12n\sqrt{n^2+n}+9(n+1)>4(n^3+2n^2+2n+1)}\)
\(\displaystyle{ n^2(12\sqrt{1+\frac{1}{n}}-8)+n+5>0}\)
oczywiste

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1}+\frac{(4n+3)\sqrt{n}}{6}}\)
\(\displaystyle{ 36(n+1)+12(4n+3)\sqrt{n^2+n}+(16n^3+24n^2+9n)}\)
\(\displaystyle{ ((48n+36)\sqrt{n^2+n}-56n^2)-50n-13}\)
\(\displaystyle{ (48\sqrt{1+\frac{1}{n}}-56)n^2+(36\sqrt{1+\frac{1}{n}}-50)n-13}\)
też naturalne, ale wymaga sprawdzenia dla kilku n'ów pierwszych czy pierwiastki nie wejdą w drogę.

Nie chce mi sie sprawdzac, ale lepiej poredukowac, co sie da, a potem podniesc do kwadratu stronami, mniej rachunkow