Matematyka.pl

Mam taką funkcję:

dla n = 1 f(n) = 1
dla n > 1 f(n) = f(n - 1) + (n+1)/3
oraz n należy do naturalnych.

No i teraz jest problem, bo jak chcę policzyć np. f(200) to muszę najpierw policzyć f(2), f(3), f(4) ... itd. aż do f(200). W jaki sposób znaleźć wzór jawny tejże funkcji? Chodzi mi o taki wzór, żeby było: f(n) = coś , a to "coś" żeby nie zawierało już odwołania do funkcji f.

No i teraz ogólny problem: jak znajdować jawne wzory dla dowolnych funkcji typu f(n) = f(n - 1) + cośtam.

Czy ktoś mógłby pouczyć niedoświadczonego adepta tej jakże rozbudowanej dziedziny?

- wypisz kilka początkowych wyrazów,
- metoda różnic skończonych,
- dowód indukcyjny.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Co to znaczy "kilka" początkowych wyrazów? Co to jest metoda różnic skończonych? Co mam udowadniać? Mógłbym prosić trochę ściślej? Ale i tak dzięki, chociaż nic nie rozumiem

Use:
1) brain
2) google.

good luck.

liu, a jak twoim zdaniem powinienem tego szukać? "funkcje rekurencyjne" - nie bardzo - google znajduje setki odnośników do stron o tematyce "jak zaprogramować obliczanie silni w c++". A może "metoda różnic skończonych" - tym razem przewodnictwo cieplne i chemia kwantowa. Jeżeli masz pisać posty w tym stylu, to lepiej w ogóle ich nie pisz, bo ktoś mniej cierpliwy niż ja na pewno się wkurzy. Mimo wszystko dzięki za nieocenioną pomoc. Możesz mi jeszcze podać adres google? A może mam go wyszukać?

[ Dodano: Wto Cze 28, 2005 9:27 pm ]
Skrzypu, a zdradzisz, jak do tego doszedłeś?

Zdradzę

Obliczyłem kilka początkowych wyrazów

\(\displaystyle{ f(2)=\frac{6}{3}}\)
\(\displaystyle{ f(3)=\frac{10}{3}}\)
\(\displaystyle{ f(4)=\frac{15}{3}}\)
\(\displaystyle{ f(5)=\frac{21}{3}}\)

I teraz trzeba mieć troche wprawy i doświadczenia, żeby zauważyć jaki to jest wzór (chociaż tu jest dosyć łatwo), ja zauważyłem taki \(\displaystyle{ f(n)=\frac{(n+1)(n+2)}{6}}\) i udowodniłem go indukcyjnie

...a jeśli nie możesz/nie chce Ci sie 'zgadywać' to wypisując kolejne wyrazy zbadaj różnicę pomiędzy nimi. Zauważysz, że przy 'drugiej serii' różnice są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) -> jest więc to wielomian stopnia 2-giego. Pozostaje ułożyć stosowny układ równań & wyznaczyć jego współczynniki=)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

A jeśli bym miał funkcję w postaci:
f(n) = a , dla n = 1
f(n) = f(n - 1) + bn + c , dla n > 1

gdzie a, b, c to dowolne liczby rzeczywiste, to jak znaleźć wzór jawny takiej funkcji?
(n oczywiście należy do naturalnych)

Robisz dokładnie tak samo jak wcześniej

\(\displaystyle{ f(n)=a+\frac{(n-1)(n+2)}{2}b+(n-1)c}\)

Tak, jak wyżej napisałem:) Również będzie to wielomian stopnia drugiego.

\(\displaystyle{ f(n)=\alpha\cdot n^2 + \beta\cdot n + \gamma\cdot}\)

Wystarczy, że wypiszesz \(\displaystyle{ f(1),f(2),f(3)}\), podstawisz&obliczysz. Na 'wszelki wypadek' możesz sobie udowodnić otrzymany wzór.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Ok, dzięki wszystkim, którzy pomogli Teraz zajmuje się takimi samymi funkcjami tylko, że jest f(n) = f(n - 1) + an� + bn + c .
Chyba można to zrobić analogicznie jak poprzednio, prawda? Tylko, że jeszcze więcej obliczeń będzie, ale nie wiem, nie próbowałem jeszcze.

\(\displaystyle{ f(n)=f(n-1)+bn+c}\)
\(\displaystyle{ f(n-1)=f(n-2)+b(n-1)+c}\)
\(\displaystyle{ f(n-2)=f(n-3)+b(n-2)+c}\)
...
\(\displaystyle{ f(2)=f(1)+b2+c}\)
\(\displaystyle{ f(1)=a}\)
dodaj stronami
\(\displaystyle{ f(n)=b(n+n-1+...+2)+c(n-1)+a}\)
sume juz sobie policzysz