Cześć, potrzebuję pomocy przy zadaniu z przykładowych zadań dr hab. Mariana Hotlosia do Studium Talent. Oto one:
Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n
\(\displaystyle{ (1+x) ^{n} \le 1+n2 ^{n-1}x}\), gdzie x jest dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą taką, że \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\).
Myślałem o dwumianie Newtona, ale z prawej strony jest \(\displaystyle{ 2 ^{n-1}}\) a nie jeden, więc wydaje mi się, że to wszystko psuje, poza tym próbowałem przekształcać tą nierówność, ale nic nie uzyskałem.
nierówność w indukcji matematycznej
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
nierówność w indukcji matematycznej
Pierwszy krok indukcyjny Ci zostawiam do zrobienia.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Pokażemy, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ (1+x) ^{n} \le 1+n2 ^{n-1}x}\), to także \(\displaystyle{ (1+x) ^{n+1} \le 1+(n+1)2 ^{n}x}\)
\(\displaystyle{ (1+x)^{n+1}=(1+x) \cdot (1+x)^n \le (1+x)(1+n2^{n-1}x)}\)
- skorzystałem z założenia indukcyjnego.
Teraz rozpiszmy to, przez co ograniczyliśmy z góry:
\(\displaystyle{ (1+x) \cdot (1+x)^n \le (1+x)(1+n2^{n-1}x)=1+x+n2^{n-1}x+n2^{n-1}x^2}\)
Zatem by zakończyć drugi krok indukcyjny, wystarczy pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+x+n2^{n-1}x+n2^{n-1}x^2 \le 1+(n+1)2^n x}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ x(1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x) \le (n+1)2^n x}\)
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy równość, czyli OK, a dla \(\displaystyle{ x>0}\) dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i mamy do udowodnienia
\(\displaystyle{ 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x \le (n+1)2^n}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \le 1}\) i \(\displaystyle{ 1\le 2^n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x \le 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}=1+n2^n \le 2^n+n2^n=(n+1)2^n}\), c.k.d.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Pokażemy, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ (1+x) ^{n} \le 1+n2 ^{n-1}x}\), to także \(\displaystyle{ (1+x) ^{n+1} \le 1+(n+1)2 ^{n}x}\)
\(\displaystyle{ (1+x)^{n+1}=(1+x) \cdot (1+x)^n \le (1+x)(1+n2^{n-1}x)}\)
- skorzystałem z założenia indukcyjnego.
Teraz rozpiszmy to, przez co ograniczyliśmy z góry:
\(\displaystyle{ (1+x) \cdot (1+x)^n \le (1+x)(1+n2^{n-1}x)=1+x+n2^{n-1}x+n2^{n-1}x^2}\)
Zatem by zakończyć drugi krok indukcyjny, wystarczy pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+x+n2^{n-1}x+n2^{n-1}x^2 \le 1+(n+1)2^n x}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ x(1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x) \le (n+1)2^n x}\)
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy równość, czyli OK, a dla \(\displaystyle{ x>0}\) dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x}\) i mamy do udowodnienia
\(\displaystyle{ 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x \le (n+1)2^n}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x \le 1}\) i \(\displaystyle{ 1\le 2^n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\), więc \(\displaystyle{ 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}x \le 1+n2^{n-1}+n2^{n-1}=1+n2^n \le 2^n+n2^n=(n+1)2^n}\), c.k.d.