Matematyka.pl

za pomocą indukcji pokazać, że : \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{b} \right) ^m + \left( 1+ \frac{b}{a} \right) ^m \ge 2^m+1}\)

No to działaj...

Pierwszy krok?

no dla m = 1 \(\displaystyle{ a \neq 0,b \neq 0}\)jest prawda bo \(\displaystyle{ 2+ \frac{a^2+b^2}{ab} \ge 3}\)

Dlaczego? Uzasadnij.
W zadaniu muszą być jakieś założenia.

no miałam podane że a i b są dodatnie a \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge ab}\)

no to skoro tak to rzeczywiście: \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{ab} \ge 1}\) zatem: \(\displaystyle{ 2+\frac{a^2+b^2}{ab} \ge 3}\)

pierwszy krok jest... co dalej?

no zakładamy , że dla m jest prawda i sprawdzamy dla m+1. no i mamy \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{b} \right) ^{m+1}+\left( 1+ \frac{b}{a} \right) ^{m+1} = \left( 1+ \frac{a}{b} \right) ^m \left( 1+ \frac{a}{b} \right) + \left( 1 +\frac{b}{a} \right) ^m \left( 1+ \frac{b}{a} \right)}\) i dalej nie wiem

Teraz otwórz małe nawiasy (te bez potęg) i skorzystaj z założenia indukcyjnego.

otworzyć małe nawiasy czyli?

Wymnóż duży nawias przez to, co jest w małym.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania.

no zakładamy , że dla \(\displaystyle{ m}\) jest prawdą

ej no to nie mamy czego dowodzić . "Weźmy dowolny, ustalony \(\displaystyle{ k \ge 1}\) i załóżmy, że dla niego zachodzi teza. Pokażemy, że zachodzi dla \(\displaystyle{ k+1}\)"

no ale przecież duży nawias jest do potęgi m to mogę sobie tak mnożyć?

O to mi chodzi:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{a}{b}\right)^m\left(1+\frac{a}{b}\right)=\left(1+\frac{a}{b}\right)^m+\frac{a}{b}\left(1+\frac{a}{b}\right)^m}\)

no ok \(\displaystyle{ (1+ \frac{a}{b})^m + (1+ \frac{b}{a})^m + \frac{a}{b} (1+ \frac{a}{b})^m + \frac{b}{a}(1+ \frac{b}{a})^m}\) no i ta pierwsza suma jest \(\displaystyle{ \ge 2^m+1}\) a ta druga?

Wsk. Jedna z liczb \(\displaystyle{ a/b, b/a}\) jest większa od jedynki.