Matematyka.pl

Udowodnij indukcyjnie:

\(\displaystyle{ n^{2} < 3^{n}}\)

Porsze o pomoc!!! PS. Mam prośbe o dokładne wytłumaczenie tego przypadku z rozpiską!


I Sprawdzenie dla n=1

1

Teza:
\(\displaystyle{ n^{2}+2n+1 < 3^{n}*3}\), a stąd:
\(\displaystyle{ n^{2} < 3^{n} + 2*3^{n}-2n-1}\)
Korzystasz założenia i wystarczy pokazać, że:
\(\displaystyle{ 2*3^{n}-2n-1\geq 0}\) tzn. \(\displaystyle{ 3^{n}\geq n+1/2}\)
Można ponownie skorzystać z indukcji...

nie rozumiem

W którym momencie nie rozumiesz?

Dla n=1 zgadza się

Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla pewnego n=k

\(\displaystyle{ k^{2} < 3^{k}}\)

Przekształcamy ją:

\(\displaystyle{ k^{2} + 2k + 1 < 3^{k} + 2k + 1 \\ (k+1)^{2} < 3^k + 2k + 1 < 3^k + 2k + 3^k}\)

Teraz indukcyjnie wykazujemy że 2k < 3^k

dla n=1 zgadza się

Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla pewnego n=k

\(\displaystyle{ 2k < 3^{k} \\ 2k + 2 < 3^k + 2 < 3^k +3^k < 3^k + 3^k + 3^k = 3^{k+1}}\)

Jest ok

czyli:

\(\displaystyle{ (k+1)^{2} < 3^k + 2k + 3^k < 3^k + 3^k + 3^k = 3^{k+1}}\)

Na mocy...

Tego ostatniego nie trzeba dowodzić indukcyjnie, \(\displaystyle{ 3^n=(1+2)^n\geq 1+2n>2n}\).

Ale trzeba powiedzieć, że to wynika z nierówności Bernoulliego

Pisałem już gdzieś wcześniej, że ta nierówność zachodzi w ogólniejszej formie:

\(\displaystyle{ a^n>n^a}\), jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\in a>1}\), a \(\displaystyle{ n>a^2}\).

Dowód np. przez indukcję & nierówność Bernoulliego.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[ Dodano: Pią Paź 14, 2005 11:18 am ]
Hm, to jeszcze lepsze uogólnienie:)

Dla \(\displaystyle{ \mathbb{R_+}\in x>y\geq e}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ y^x>x^y}\)