Matematyka.pl

Edit by Arbooz: Co ten temat robił w "Ciągach..."? >.< Przeniosłem.

Witmam wszystkich fanów matematyki. na tegorocznej próbnej maturze z
matematyki pojawiły sie zadania na indukcja - była to dokładnie nierówność.
Po sprawdzeniu w kluczu okazało się ,ze tą nierówność rozwiązujemy wychodząć
z lewej strony tezy i przekształcajac ją dochodzimy do odpowiedzi. Mam wobec
tego pytanie - czy błędem byłoby wyjść z założenia, doprowadzić lewą stronę
do lewej strony tezy i skorzystać z przechodniości nierówności ( jeżeli a > b
i b> c to na pewno a > c) ?? Bo wg. mojej nauczycielki błędem, a mi wydaje
sieże jest to nawetlepszy sposób....

Takie rozwiązanie jest też prawidłowe, ale raczej dochodzi się od lewej strony tezy do prawej, tym bardziej na maturze, gdzie zadania powinno się rozwiązywać najbardziej standardowymi metodami, żeby nie zmuszać sprawdzających do myślenia

Szczerze mówiąc nie rozumiem co chcesz zrobić. Mógłbyś napisać to rozwiązanie opierające się na wyjściu z lewej strony i dojściu do niej z powrotem?

Nie chciałam zaczynać nowego tematu, a ten tyczy się też indukcji.

Mam taki problem z dwoma zadaniami , mógłby mi ktos pomóc?
1) \(\displaystyle{ 6|n^3 + 11n}\),
2) \(\displaystyle{ 30|n^5 - n}\).

Jak mam to udowodnic...
Prosze o pomoc

Pozdrawiam
Gosia

I. 1. sprawdzasz prawdziwosc dla n=1
2. Z: n=k
6 | \(\displaystyle{ k^{3}}\)+11k
T: n=k+1
6 | \(\displaystyle{ (k+1)^{3}}\)+11(k+1)

Teraz musisz wyrazenie z tezy doprowadzic do postaci, z ktorej mozesz wykzac jej prawdziwosc.
\(\displaystyle{ (k+1)^{3}}\)+11(k+1) = \(\displaystyle{ k^{3}}\)+3\(\displaystyle{ k^{2}}\)+3k+1+11k+11 = (\(\displaystyle{ k^{3}}\)+11k)+3(\(\displaystyle{ k^{2}}\)+k+4).
Jest to suma liczb podzielnych przez 6 (pierwszy nawias wynika z naszych zalozen a drugi z tego, ze jest to calkowita wielokrotnosc liczby 3). W ten sam sposob musisz rozpisac zadanie 2.

hmm, ale wlasnie tu mi sie nie zgadzalo: bo 9 jest przeciez wielokrotnoscia 3, a nie dzieli sie przez 6...

\(\displaystyle{ k^{2}}\)+k+4 mozesz zapisac jako (k+1)k+4 czyli jest to suma iloczynu kolejnych 2liczb naturalnych oraz 4, czyli jest to liczba podzielna przez 2, 3(\(\displaystyle{ k^{2}}\)+k+4) jest podzielne przez 2 oraz przez 3 czyli jest podzielne przez 6, oczywiscie dla k naturalnych.

Dziękuje, a co do tego drugiego: liczba naturalna, całkowita dzieli się przez 30, jeśli jest podzielna przez 3,5 i 10. Więc jak mam ‘iść dalej’: (k^5-k)+5(k^4+2k^3+2k^2+k)

Jak dzieli sie przez 5 i 6, czyli inaczej 5,2,3, tez sie dzieli przez 30mamy wiec:
\(\displaystyle{ k^{4}}\)+2\(\displaystyle{ k^{3}}\)+2\(\displaystyle{ k^{2}}\)+k rozbij sobie na k(k+1)[k(k+1)+1] wiec jest to iloczyn 2kolejnych liczb naturalnych znowu ( liczba k(k+1) oraz k(k+1)+1 ) wiec na pewno beda podzielne przez 2, mozemy tez zauwazyc, ze zawsze ktoras z liczb k, k+1 lub k(k+1)+1 bedzie podzielna przez 3. "Troche" to naciagane ale coz Moze ktos ma lepszy pomysl

dziekuje, zaufam bo te cechy podzilnosci sa dziwne