Witam.
Mam problem z zadaniem w którym muszę udowodnić podzielność przez \(\displaystyle{ 43}\) dla liczby \(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1}}\)
Czy byłby ktoś w stanie rozwiązać to zadanie?
Indukcyjny dowód podzielności liczby.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Indukcyjny dowód podzielności liczby.
Wskazówka:
\(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1}=36 \cdot 6^n+7 \cdot 6^n-7\cdot 6^n+7^{2n+1}=43 \cdot 6^n+7\cdot (49^n-6^n)}\)
i skorzystaj ze wzoru na różnicę n-tych potęg.
\(\displaystyle{ 6^{n+2} + 7^{2n+1}=36 \cdot 6^n+7 \cdot 6^n-7\cdot 6^n+7^{2n+1}=43 \cdot 6^n+7\cdot (49^n-6^n)}\)
i skorzystaj ze wzoru na różnicę n-tych potęg.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Indukcyjny dowód podzielności liczby.
Indukcyjnie:
\(\displaystyle{ 6^{1+2}+7^{2+1}=13 \cdot 43\\
6^{n+2}+7^{2n+1}=43 \cdot k\\
6^{n+1+2}+7^{2n+2+1}=6 \cdot 6^{n+2}+49 \cdot 7^{2n+1}=6 \cdot 6^{n+2}+(43+6) \cdot 7^{2n+1}=6 \cdot 43k+43 \cdot 7^{2n+1}=43 \cdot K}\)
albo bez indukcji:
\(\displaystyle{ 6^{n+2}+7^{2n+1}=36 \cdot 6^n+7 \cdot 49^n=36 \cdot 6^n+7 \cdot (43+6)^n=\\=36 \cdot 6^n+7 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i}6^i + {n \choose n}6^n \right)=
6^n(36+7)+43\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i-1}6^i =\\=43\left[6^n+\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i-1}6^i \right]}\)
\(\displaystyle{ 6^{1+2}+7^{2+1}=13 \cdot 43\\
6^{n+2}+7^{2n+1}=43 \cdot k\\
6^{n+1+2}+7^{2n+2+1}=6 \cdot 6^{n+2}+49 \cdot 7^{2n+1}=6 \cdot 6^{n+2}+(43+6) \cdot 7^{2n+1}=6 \cdot 43k+43 \cdot 7^{2n+1}=43 \cdot K}\)
albo bez indukcji:
\(\displaystyle{ 6^{n+2}+7^{2n+1}=36 \cdot 6^n+7 \cdot 49^n=36 \cdot 6^n+7 \cdot (43+6)^n=\\=36 \cdot 6^n+7 \cdot \left( \sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i}6^i + {n \choose n}6^n \right)=
6^n(36+7)+43\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i-1}6^i =\\=43\left[6^n+\sum_{i=0}^{n-1} {n \choose i}43^{n-i-1}6^i \right]}\)