Matematyka.pl

Indukcyjnie wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x_{n} = 5 \cdot 6^{n} + 8 \cdot 32^{n}}\) jest podzielne przez 13 dla każdej liczby \(\displaystyle{ n \in N.}\)

Pierwszy krok indukcyjny dla \(\displaystyle{ n = 1}\). Działa ?
Następne kroki... Gdzie jest problem ?

Wskazówka: \(\displaystyle{ 32=2\cdot13+6}\)

@Arek1357

• \(\displaystyle{ 32^n\neq6^n}\)

Wskazówka: w pierścieniu klas resztowych modulo \(\displaystyle{ 13}\), \(\displaystyle{ 32 = 19 = 6}\).

arek1357, pożycz mi 32 tyś, a ja Ci oddam 6 tyś OK?

Jakubb21 podaje, że ma 19 lat, więc chodzi jeszcze do szkoły średniej i pewnie nie wie co to pierścień klas resztowych. To zadanie można zrobić bez używania arytmetyki modularnej.

@Arek1357

Należy wyraźnie zaznaczać, że używa się arytmetyki modularnej.

Zrobiłem to w taki sposób, jakby ktoś mógł to sprawdzić i powiedzieć co jest ewentualnie nie tak.
Przypadek bazowy tu pomijam. Zakładam że \(\displaystyle{ 5 \cdot 6^{n}+8 \cdot 32^{n}=13k}\) a więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 6^{n}=13k-8 \cdot 32^{n}}\)
A więc
\(\displaystyle{ 5 \cdot 6 ^{n+1}+8 \cdot 32 ^{n+1}= 5 \cdot 6 ^{n} \cdot 6 + 8 \cdot 32 ^{n} \cdot 32=6(13k+8 \cdot 32 ^{n})+8 \cdot 32 ^{n} \cdot 32=6 \cdot 13k-6 \cdot 8 \cdot 32 ^{n} +8 \cdot 32 ^{n} \cdot 32 = 6 \cdot 13k-48 \cdot 32 ^{n} +8 \cdot 32 ^{n} \cdot 32 = 6 \cdot 13k-3 \cdot 13+9 \cdot 32 ^{n} + 8 \cdot 32 ^{n} \cdot 2 \cdot 13 +6=13(6k-3 \cdot 32 ^{n} + 8 \cdot 32 ^{n} \cdot 2 +15)}\)

Pewnie robię błąd w momencie rozbicia 48 i 32 na te czynniki, one powinny być w nawiasie? Nie jestem pewien tego właśnie.

\(\displaystyle{ \cdots}\)

\(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.65 0}=6\cdot13k-{\dg{(}}3\cdot13+9{\dg{)}}\cdot32^n+8\cdot32^n\cdot{\dg{(}}2\cdot13+6{\dg{)}}=}\)

\(\displaystyle{ \cdots}\)