Matematyka.pl

Witam serdecznie!
Mam pewien problem z dowodem, na który natknąłem się na analizie. Jest to twierdzenie, teoretycznie jedno z zadań na indukcję matematyczną, lecz moje próby dowodu indukcyjnego poszły na marne. Myślę, że jest jakiś inny sposób.

Zadanie brzmi:
Udowodnij następujące twierdzenie:
Jeśli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n} = 1}\), to \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \ge n}\)

Wszelkie wskazówki mile widziane

424794.htm

W drugim kroku indukcyjnym:
mamy \(\displaystyle{ a_i}\)nieujemne takie, że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{k+1}a_i =1}\), a więc wśród liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{k+1}}\) jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\) i nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\), bez straty ogólności (przenumerowanie) niech \(\displaystyle{ a_k\ge 1, \ a_{k+1}\le 1}\).
Wówczas z założenia indukcyjnego mamy
\(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots+a_{k-1}+a_k a_{k+1} \ge k}\)
(jako że liczby \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{k-1}, a_k a_{k+1}}\) są nieujemne i mają iloczyn \(\displaystyle{ 1}\)),
natomiast
\(\displaystyle{ (a_k-1)(1-a_{k+1}) \ge 0 \Leftrightarrow a_k+a_{k+1} \ge 1+a_k a_{k+1}}\)
więc
\(\displaystyle{ a_1+\ldots+a_k+a_{k+1}\ge a_1+\ldots+a_{k}a_{k+1}+1 \ge k+1}\)
co kończy dowód.