Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (A_n)^\infty_{n=1}}\) będzie ciągiem macierzy stopnia drugiego. Załóżmy, ze \(\displaystyle{ detA_1\neq0}\), \(\displaystyle{ detA_2\neq0}\) oraz \(\displaystyle{ A_n=A_{n+1}A_{n-1}...A_1, n=2, 3...}\)
Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ detA_n\neq0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in{N}}\).


Nie wiem, czy dobrze to odczytuje, ale skoro wyznacznik dla A1 i A2 nie jest równy zero to dla tej macierzy nie może stać się zerem nigdy, jednak nie mam pojęcia w jaki sposób to zapisać.

Ja bym zostawił po jednej stronie \(\displaystyle{ A_{n+1}}\) a po drugiej resztę.
Oczywiście przy założeniu, że wyznaczniki są niezerowe- bo wtedy odpowiednie twierdzenie mówi nam, że te macierze są odwracalne.
Potem "obłożyć" to równanie wyznacznikiem, bo wyznacznik iloczynu to iloczyn wyznaczników - dla dwóch macierzy to jest twierdzenie Cauchy'ego. Można to indukcyjnie rozszerzyć dla przeliczalnego iloczynu macierzy. Myślę, że powinieneś sobie z tym poradzić.
Myślę, że jedyna trudność została rozwiana w pierwszym zdaniu tego posta.