Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a_1=2 \\
a_2=7 \\
a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}+5^{n-1}}\)

Z czym masz problem? Pokaż swoje próby rozwiązania.

JK

1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1 , n=2}\)
2. Założenie indukcyjne \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}+5^{n-1}}\)
3.
\(\displaystyle{ a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n=7(2^n+5^n)-10(2^{n-1}+5^{n-1})=7(2^n+5^n)-5 \cdot 2^n-2 \cdot 5^n=2^n(7-5)+5^n(7-2)=2^{n+1}+5^{n+1}}\)

Czy mogę sobie tak po prostu podstawić \(\displaystyle{ a_{n+1}=2^n+5^n}\)?

Rachunki są poprawne, ale sam dowód nie, właśnie dlatego, że dowód to nie są same rachunki, ale także komentarz do nich.

Założenie indukcyjne jest inne. Powinno wyglądać tak:

"Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\ge 1}\), takie że zachodzi \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}+5^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=2^n+5^n}\). Pokażemy, że zachodzi \(\displaystyle{ a_{n+2}=2^{n+1}+5^{n+1}}\)."

i dalej już te rachunki, które zrobiłeś.

Ja oczywiście oczekiwałbym jeszcze podania schematu indukcji, na który powinieneś się na koniec powołać, bo dopiero wtedy dowód jest dla mnie pełnowartościowy.

JK

Ok. Dziękuję za pomoc.