Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 5^{n - 1}\geq 2n^{2} + 1, n\geq 3}\)

I sprawdzam dla n=3
II zalozenie \(\displaystyle{ 5^{k - 1}\geq 2k^{2} + 1}\)
III teza \(\displaystyle{ 5^{k}\geq 2(k+1)^{2} + 1}\)
no i oczywiscie w tym miejscu ZONK, totalny dol, co poczac?

Zakładamy prawdziwość dla \(\displaystyle{ n}\).

Mnożymy wyjściową przez 5, dostajemy:

\(\displaystyle{ 5^n\geq 10n^2+5}\).

Teraz jeśli pokażemy, że \(\displaystyle{ 10n^2+5\geq 2(n+1)^2+1}\), to dowód kroku będzie zakończony.

Istotnie, \(\displaystyle{ 10n^2+5\geq 2n^2+4n+3\Leftrightarrow 4n^2-2n+1\geq 0}\), co łatwo sprawdzić.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Mam pytanie Tomek, moglbys przyblizyc mi skad sie wzielo ze
\(\displaystyle{ 10n^{2} + 5\geq 2(n + 1)^{2} + 1}\)
Sorki ze mecze Cie takimi glupimi pytaniami po nocach ale po prostu tego nie widze:(

Jeśli to pokażemy, to pokażemy, że \(\displaystyle{ 5^n\geq 2(n+1)^2+1}\), prawda? Czyli to będzie dowód kroku indukcyjnego. (z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla n+1).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Wielkie dzieki, juz wszystko jasne:D