Witam, mam problem z przeprowadzeniem do końca następującego dowodu
Z poprzedniego twierdzenia wiem, że \(\displaystyle{ f \left( \frac{x+y}{2} \right) \le \frac{f \left( x \right) +f \left( y \right) }{2}}\)
Mam udowodnić następującą nierówność \(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{2 ^{p} } \sum_{i=1}^{2^p} x _{i} \right) \le \frac{1}{2 ^{p} } \sum_{i=1}^{2 ^{p} }f \left( x _{i} \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{1}.... x_{n}}\) należą do zbioru wypukłego i otwartego.
pierwsza cześć dowodu wychodzi odrazu, ale w drugiej nie moge dojść do miejsca w którym wykorzystuje założenie indukcyjne
indukcja sumowanie
-
qwas1234
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 mar 2015, o 11:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
- Podziękował: 2 razy
indukcja sumowanie
Ostatnio zmieniony 7 lip 2016, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
indukcja sumowanie
\(\displaystyle{ f\left(\frac1{2^{p+1}}\sum_{i=1}^{2^{p+1}}x_i\right)
=f\left(\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i+\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i}2\right)\\
\leq\frac{f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i\right)
+f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i\right)}2
\leq\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}f(x_i)
+\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}f(x_i)}2\\
=\frac1{2^{p+1}}\sum_{i=1}^{2^{p+1}}f(x_i)}\)
=f\left(\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i+\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i}2\right)\\
\leq\frac{f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}x_i\right)
+f\left(\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}x_i\right)}2
\leq\frac{\frac1{2^p}\sum_{i=1}^{2^p}f(x_i)
+\frac1{2^p}\sum_{i=2^p+1}^{2^{p+1}}f(x_i)}2\\
=\frac1{2^{p+1}}\sum_{i=1}^{2^{p+1}}f(x_i)}\)