Matematyka.pl

Udowodnij indukcyjnie:

a)\(\displaystyle{ n^{3}n , n>2}\)

Jak to ruszyć?

Podpowiedź: (n+1)!=n!(n+1)

założenie:
\(\displaystyle{ n!>n^{3}}\)
teza:
\(\displaystyle{ (n+1)!>(n+1)^{3}}\)
z Twojej podpowiedzi:
\(\displaystyle{ n!(n+1)>(n+1)^{3}}\)
\(\displaystyle{ n!>(n+1)^{2}}\)

dowód:
\(\displaystyle{ n^{3}>n^{2}+2n+1}\)
\(\displaystyle{ n(n-2)(n+1)>1}\) koniec

dobrze???

Dla n>8. Chyba.

Podobnie jest z drugim.

Jaka jest największa liczba naturalna n, dla której \(\displaystyle{ 30^{n}}\) jest dzielnikiem liczby 2006! ?

Nie miałem tego jeszcze na lekcjach, ale dostałem to zadanie dodatkowo i chciałbym się dowiedzieć jak znaleźć liczbę spełniającą dany warunek. Proszę o odpowiedź z wytłumaczeniem dlaczego tak, a nie inaczej, bo nie miałem tego jeszcze na lekcjach
Mam nadzieję, że to dobry temat

\(\displaystyle{ 30^n=2^n\cdot 3^n\cdot 5^n}\)
Wystarczy policzyć liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby 2006!.
Intuicja podpowiada, że trójek i dwójek jest o wiele więcej.
Zatem mamy (część całkowita) [2006/5]=401 liczb podzielnych przez 5.
1. Jest jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 5^4}\) (625)
2. [2006/125]-1=16-1=15 podzielnych przez \(\displaystyle{ 5^3}\)(bez tej wyżej)
3. [2006/25]-16=80-16=64 podzielnych przez \(\displaystyle{ 5^2}\) (bez tych wyżej)
4. [2006/5]-80=401-80=321 podzielnych przez 5 (bez tych wyżej)
Więc n=4+15*3+64*2+321

soliter pisze:Intuicja podpowiada, że trójek i dwójek jest o wiele więcej.

Dlaczego rozpatrujemy tylko 5? Czy możemy się powołać na intuicję, czy jakoś wykazać, że 2 i 3 nas nie interesują (dlaczego?)? Nie rozumiem wyjaśnienia, że jest ich zawiele.

Reszta przybliżyła mnie do zrozumienia tego zadania

Jak wiesz (jak pokazałem), trójek i dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 30^n}\) będzie tyle samo co piątek. Ale oczywistym jest, że w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 2006! będzie więcej 2 i 3 niż piątek, więc jeśli będzie wystarczająco piątek (w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 2006! dla danego n przy 30^n), to będzie wystarczająco dwójek i trójek. W końcu co druga liczba w iloczynie 2006! jest podzielna przez 2, co trzecia przez 3, a tylko co piąta przez 5. Zresztą w analogiczny sposób możesz sobie policzyć liczbę owych dwójek i trójek, zobaczysz wtedy, że będzie ich o wiele więcej.

Dzięki za pomoc Teraz jest to o wiele "jaśniejsze", niż było wcześniej