Matematyka.pl

Mam problem z indukcyjnym udowodnieniem nierówności:
dla każdego \(\displaystyle{ n\geqslant1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot ... \frac{2n-1}{2n}\leqslant\frac{1}{\sqrt{3n+1}}}\)

Dochodzę do
\(\displaystyle{ (...) \\\\\frac{\sqrt{3n+1}}{3n+1}\cdot\frac{2n+1}{2(n+1)}=\frac{(2n+1)\sqrt{3n+1}}{2(3n+1)(n+1)}}\)
i nie mam pomysłu na dalsze kroki

Z założenia indukcyjnego mamy, że\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ... \frac{2n-1}{2n} \frac{2n+1}{2n+2} q \frac{ 1}{ \sqrt{3n+1}} \frac{2n+1}{2n+2}}\). Wystarczy więc, że pokażemy prawdziwość następującej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{(2n+2) \sqrt{3n+1} } q \frac{1}{ \sqrt{3n+4}}}\)
\(\displaystyle{ (2n+1) \sqrt{3n+4} q (2n+2) \sqrt{3n+1}}\)
\(\displaystyle{ (4n^2+4n+1)(3n+4) q (4n^2 + 16n+4)(3n+1) \\ 28n^2+ 19n q 52n^2+28n \\ 0 q 24n +9}\)
Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej dodatniej liczby naturalnej, a wcześniejsze przekształcenia były równoważne, więc dowód jest zakończony.

Wielkie dzięki!

chyba maly blad rachunkowy:

zamiast

Tristan pisze:\(\displaystyle{ (2n+1) \sqrt{3n+4} q (2n+2) \sqrt{3n+1} \\ (4n^2+4n+1)(3n+4) q (4n^2 + 16n+4)(3n+1) \\ 28n^2+ 19n q 52n^2+28n \\ 0 q 24n +9}\)

powinno byc

\(\displaystyle{ (2n+1) \sqrt{3n+4} q (2n+2) \sqrt{3n+1} \\ (4n^2+4n+1)(3n+4) q (4n^2 + 8n+4)(3n+1) \\ 28n^2+ 19n q 16n^2+8n \\ 0 q 12n -11}\)

Zgadza się, dzięki za zauważenie