Matematyka.pl

Cześć Wszystkim,
Mam problem z zadaniem z indukcji,a mianowicie: jak udowdnić że prawdziwe jest twierdzenie:
dla każdego n należącego do N i n >=1
133 | 11^n+2 + 12^2n+1

oraz

2+5+8+...+ (3n-1)=(3/2)*n^2 + (1/2)*n przy takich samych założeniach jak poprzedni przykład

Domyślam się że chodzi o to aby ta liczba była podzielna przez 133.
1)sprawdzamy prawdziwość dla n=1:
11^2+12^3=3059 - a to jest liczba podzielna przez 133.
2) zakładamy prawdziwość dla k>=1 gdzie k należy do naturalnych
11^(k+2)+12^(2k+1)=133a, gdzie a należy do naturalnych
3) sprawdzamy czy wyrazenie jest prawdziwe dla k+1:
11^(k+3)+12^(2k+3)=11(133a-12^(2k+1))+12^(2k+3)=
11*133a-11*12^(2k+1)+12^(2k+1)*12^2=
=11*133a+12^(2k+1)*(144-11)=11*133a+12^(2k+1)*133=
133(11+12^(2k+1)) - a to jest liczba podzielna przez 133.
skoro wszystkie warunki są spełnine twierdzenie jest prawdziwe.

jeśli chodzi o drugie twierdzenie to nie wiem w czym jest problem stosując klasyczną indukcję wszystko ładnie wychodzi
tak po krótce wygląda to następująco:
1) prawdziwość dla n=1:
L=2
P=3/2*1+1/2
P=2
L=P
2) Zakładamy prawdziwość dla k>=1 k należy do naturalnych:
2+5+......+(3k-1)=3/2*k^2+1/2*k
3) sprawdzamy prawdziwość dla k+1:
2+5+...+(3k-1)+(3k+2)=3/2(k+1)^2+1/2(k+1)
zamiast 2+5+...+(3k-1) podstawiamy 3/2*k^2+1/2*k (korzystamy z założenie indukcyjnego)
po obliczeniach otrzymujemy że L=P