Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 1. \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^{2} = \frac{n(n+1)}{2} (-1) ^{n-1}

2. \sum_{k=1}^{n} k(k!) = (n+1)!-1


3. 4 ^{n} > n ^{3}


4. \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k}} > \sqrt{n}}\)

Dla każdego z zadań L=P (oprócz 4?)

\(\displaystyle{ 1. L=P

\sum_{k=1}^{m} (-1)^{k-1} k^{2} = \frac{m(m+1)}{2} (-1) ^{m-1}

I dalej nie wiem :/}\)

2. Wskazówka do kroku indukcyjnego:
\(\displaystyle{ (m+1)!-1+(m+1)((m+1)!)=(m+2)\cdot (m+1)!-1=(m+2)!-1}\)
3. Wskazówka:
sprawdź oddzielnie \(\displaystyle{ n=1, \ n=2}\), gdyż prościej jest przepchnąć krok indukcyjny, poczynając od \(\displaystyle{ 2}\). Dla \(\displaystyle{ m\ge 2}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 4\ge \left( \frac{m+1}{m}\right)^3}\),
którą można uzasadnić tak: gdy \(\displaystyle{ m\ge 2}\), to
\(\displaystyle{ (m+1)^3=m^3+3m^2+3m+1\le m^3+3m^2\cdot 2\le m^3+3m^3=4m^3}\)
, skorzystaj z tego i z założenia indukcyjnego (oczywiście \(\displaystyle{ 4^{m+1}=4\cdot 4^m}\)).
4. Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sqrt{m+1}-\sqrt{m}= \frac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}}<\frac{1}{\sqrt{m+1}}}\)
i dodaj tę nierówność stronami do nierówności z założenia indukcyjnego.