indukcja matematyczna
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 gru 2004, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Północny Wschód
indukcja matematyczna
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość :
(1-4/1)(1-4/9)...(1-4/(2n-1)�)=(1+2n)/(1-2n)
Wskazówka :
Zapisz wyrażenie (2n+1) �-4 w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
Byłbym wdzięczny za rozwiązanie tego zadania i szczegółowe opisanie każdego kroku.
Z góry dzięki, pozdrawiam...
P.S.
I sorki jeżeli umieściłem to w złym dziale, ale do żadnego mi to nie pasowało...
(1-4/1)(1-4/9)...(1-4/(2n-1)�)=(1+2n)/(1-2n)
Wskazówka :
Zapisz wyrażenie (2n+1) �-4 w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
Byłbym wdzięczny za rozwiązanie tego zadania i szczegółowe opisanie każdego kroku.
Z góry dzięki, pozdrawiam...
P.S.
I sorki jeżeli umieściłem to w złym dziale, ale do żadnego mi to nie pasowało...
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
indukcja matematyczna
Rozwiązanie indukcyjne.
Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\)
Z:\(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})=\frac{1+2k}{1-2k}}\)
T: \(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+3}{-1-2k}}\)
D:\(\displaystyle{ \large L=\frac{2k+1}{1-2k}(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k+1)^2-4}{(2k+1)^2}=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2}=\frac{-(2k+3)}{(2k+1)}=\frac{2k+3}{-1-2k}=P}\)
C.N.D.
Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\)
Z:\(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})=\frac{1+2k}{1-2k}}\)
T: \(\displaystyle{ \large (1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2k-1)^2})(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+3}{-1-2k}}\)
D:\(\displaystyle{ \large L=\frac{2k+1}{1-2k}(1-\frac{4}{(2k+1)^2})=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k+1)^2-4}{(2k+1)^2}=\frac{2k+1}{1-2k}\frac{(2k-1)(2k+3)}{(2k+1)^2}=\frac{-(2k+3)}{(2k+1)}=\frac{2k+3}{-1-2k}=P}\)
C.N.D.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2005, o 19:57 przez Zlodiej, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 gru 2004, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Północny Wschód
indukcja matematyczna
Hej a w dowodzie gdzie się podziała ta -4 i skąd się wzięło ?:
(2k-1)(2k+3)
Mógłbyś mi to rozpisać ?
(2k-1)(2k+3)
Mógłbyś mi to rozpisać ?
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
indukcja matematyczna
\(\displaystyle{ (2k+1)^2-4=(2k+1)^2-2^2=(2k+1-2)(2k+1+2)=(2k-1)(2k+3)}\)
Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\).
Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\).
Ostatnio zmieniony 28 maja 2005, o 19:59 przez Zlodiej, łącznie zmieniany 1 raz.