Matematyka.pl

Robię ten przykład i nie wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2} + n -1 \ n \ge 5}\). Na początek sprawdzam dla \(\displaystyle{ n = 5}\) i nierówność zachodzi, więc robię założenie:
\(\displaystyle{ 2^{k} > k^{2} + k -1}\)
Teza: \(\displaystyle{ 2^{k+1} > (k+1)^{2} + (k+1) -1 = 2k^{2} + 3k + 1}\).
Dowód: \(\displaystyle{ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^{k} > 2 \cdot (k^{2} + k -1) = 2k^{2} + 2k - 2}\). I nie wychodzi tak, jakbym chciał. Co robię źle?

Sprawdź ile to jest \(\displaystyle{ (k+1)^2+(k+1)-1}\)

Kurczę, racja A to kończy dowód, czy coś jeszcze trzeba udowodnić?

NO pewnie trzeba pokazać krok indukcyjny (bo to co napisałaś wygląda słabo). I poprawnie zapisać tezę.

Krok indukcyjny? Nie za bardzo rozumiem

Jak brzmi teza (po tej poprawce, którą zrobiłeś)?

Założenie: \(\displaystyle{ 2^{k} > k^{2} + k -1}\)
Teza po poprawce: \(\displaystyle{ 2^{k+1} > k^{2} + 3k + 1}\)

To teraz wykonaj krok: \(\displaystyle{ 2^{k+1}=2\cdot 2^k>...}\)

\(\displaystyle{ 2^{k+1}=2\cdot 2^k>2\cdot(k^{2}+2k+1)=2k^{2}+2k-2>k^{2}+3k+1}\).
I teraz na mocy indukcji udowodniłem, że nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 5}\)
Czy coś przeoczyłem?

A jak uzasadnisz tę ostatnią nierówność? Nie wystarczy napisać, że tak jest.

Jedynie co mi przychodzi do głowy to zapisać wyrażenie poprzedzające: \(\displaystyle{ 2k^{2}+2k-2=(k^{2}+3k+1)+(k^{2}-k-3)>k^{2}+3k+1}\). A następnie wyrażenie \(\displaystyle{ k^{2}-k-3}\) udowodnił, że jest zawsze większe od jeden dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\). Pytanie, czy to dobry pomysł?

Tak

To w takim razie tak zrobię Dzięki za rady.