Matematyka.pl

Witam. Mam takie zadanie:
Pokaż, że dla dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in\NN}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ {2n \choose n} \ge \frac{ 4^{n} }{ 2\sqrt{n} }}\)

Zrobiłem pierwszy warunek \(\displaystyle{ n=1}\), nierówność prawidłowa
Potem założyłem, że ta nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ k \ge 1}\) i należącego do naturalnych. Następnie teza dla \(\displaystyle{ k+1}\).
Ja zrobiłem to tak:

\(\displaystyle{ {2k+2 \choose k+1} = \frac{(2k+2)(2k+1)(2k!)}{(k+1)k!(k+1)k!} \ge \frac{4k+2}{k+1} \cdot \frac{ 4^{k} }{ 2\sqrt{k} } = \frac{(2k+1) \cdot 4^{k+1} }{ 4k\sqrt{k} + 2\sqrt{k} } = \frac{ 4^{k+1} }{ 2\sqrt{k} }}\)

I tutaj jest coś źle, bo powinno wyjść w mianowniku \(\displaystyle{ 2\sqrt{k+1}}\)
Mógłby ktoś wyjaśnić, co robię źle lub czegoś może w dowodzeniu pominąłem. Liczę na wyjaśnienie, bo to dopiero początek jeśli chodzi o indukcję matematyczną, a nie chcę czekać z nauką do sesji

W drugim mianowniku od prawej powinna być czwórka zamiast dwójki.
W ogóle to wygodniej chyba wtedy napisać \(\displaystyle{ k+1=\sqrt{k+1}\cdot\sqrt{k+1}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ {2n \choose n}= \frac{\left( 2n\right)! }{\left( n!\right)^2 }}\) to nierówność jaką trza udowodnić to:
Jak podstawimy \(\displaystyle{ n=1}\) to mamy równość prawdziwą, więc następnym krokiem jest założenie poprawności \(\displaystyle{ \frac{\left( 2n\right)! }{\left( n!\right)^2 } \ge \frac{ 4^{n} }{ 2\sqrt{n} }}\) i pokazanie implikacji że z założenia \(\displaystyle{ T(n) \Rightarrow T(n+1)}\) czyli pytamy o:
oszacujmy lewą stronę na mocy założenia:

\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( (n+1)!\right)^2 }= \frac{\left( 2n\right)! \cdot 2(2n+1) }{(n!)^2(n+1)} \ge \frac{ 4^{n} }{ 2\sqrt{n} } \cdot \frac{2(2n+1)}{n+1}= \frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} }}\)

Spytajmy się czy:

\(\displaystyle{ \frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} } \ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1} }}\)

Co ostatecznie udowodniło by tezę...

Janusz Tracz pisze: Spytajmy się czy:

\(\displaystyle{ \frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} } \ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1} }}\)

Co ostatecznie udowodniło by tezę...

Nie rozumiem dlaczego to udowadnia tezę. Mógłbyś to wyjaśnić, bo nie czaję tego

Wiesz że \(\displaystyle{ T(1)}\) jest prawdziwe. Zakładasz prawdziwość \(\displaystyle{ T(n)}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{\left( 2n\right)! }{\left( n!\right)^2 } \ge \frac{ 4^{n} }{ 2\sqrt{n} }}\) wnioskiem z tego założenia jest prawdziwość

\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n\right)! \cdot 2(2n+1) }{(n!)^2(n+1)} \ge \frac{ 4^{n} }{ 2\sqrt{n} } \cdot \frac{2(2n+1)}{n+1}}\)

wszak wystarczy \(\displaystyle{ T(n)}\) pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \frac{2(2n+1)}{n+1}}\). Nie zostało to zrobione przypadkowo, zauważ że

\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( (n+1)!\right)^2 }= \frac{\left( 2n\right)! \cdot 2(2n+1) }{(n!)^2(n+1)}}\)

Więc jeśli udowodnisz nierówność mocniejszą \(\displaystyle{ \frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} } \ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1} }}\) to korzystając z przechodniości nierówności udowodnisz że:

\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( (n+1)!\right)^2 } \ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1} }}\) A to chcemy udowodnić bo to jest \(\displaystyle{ T(n+1)}\)

Udowodnił być to bo pokazał byś że zachodzi mocniejsza nierówność:

\(\displaystyle{ \overbrace{\frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( (n+1)!\right)^2 } \ge \frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} }}^{\text{To wiesz z założenia}}\ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1}}}\)

Ale interesuje Cię

\(\displaystyle{ \frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( (n+1)!\right)^2 } \ge \underbrace{\frac{4^n(2n+1)}{(n+1) \sqrt{n} } \ge \frac{ 4^{n+1} }{ 2\sqrt{n+1} }}_{\text{Tego jeszcze nie wiesz ale warto spytać}}}\)

Więc jeśli udowodnisz to o co warto spytać to udowodnisz tezę. Udowodnienie tej mocniejszej nierówności pozostawiam Tobie nie jest to trudne, można poprzekształcać do najprostszej postaci i powinno wyjść.

Zauważyłem, że dzieliłem \(\displaystyle{ 2k+1}\), zamiast \(\displaystyle{ 2k+2}\) i wynik mi się nie zgadzał.

Jeszcze jednej rzeczy nie rozumiem, bo mam ostatecznie nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{ 4^{k+1} \cdot (2k+1)}{2 \sqrt{k+1} \cdot 2 \sqrt{k(k+1)} } > \frac{4^{k+1}}{ 2\sqrt{k+1} }}\)

W książce jest taka odpowiedź do tego zadania:

\(\displaystyle{ 2k+1 = \sqrt{2k ^{2} + 2k + 1 } > \sqrt{2k ^{2} + 2k } = 2 \sqrt{k(k+1)}}\)

Autor wciągnął wyrażenie pod pierwiastek i...

o dobra, w trakcie zadawania pytania już wiem o co w tym chodzi xd
Dzięki wielkie za pomoc