Matematyka.pl

Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodza tożsamości:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{1} \right) ^{1} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2} \right) ^{2} \cdot ... \cdot \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} = \frac{\left( n+1\right)^n }{n!}}\)

jak juz jestem na etapie udowadniania\(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)to zrobiłem tak, że podstawiłem pod "n" "n+1" i napisałem ten sam ciąg ale z ostatnim wyrazem n i n+1szym. I wtedy do ntego moge podstawić wzór z założenia indukcyjnego i spróbować przyrównać. Ale niestety wtedy mi wychodza jakies dzikie rachunki i nie moge sie doliczyć.

Możecie powiedzieć jak to rozwiązac? dzięki

Co powiesz na to:
Zakladamy ,ze ok dla n, pokazemy, ze ok dla n+1

Dane:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{1} \right) ^{1} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2} \right) ^{2} \cdot ... \cdot \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} = \frac{\left( n+1\right)^n }{n!}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( 1+ \frac{1}{1} \right) ^{1} \cdot \left( 1+ \frac{1}{2} \right) ^{2} \cdot ... \cdot \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n} \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) ^{n+1} = \frac{\left( n+1\right)^n }{n!} \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) ^{n+1}}\)
Czyli do udowodnienienia tezy musisz pokazac, ze
\(\displaystyle{ \frac{\left( n+1\right)^n }{n!} \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) ^{n+1} = \frac{\left( n+2\right)^{n+1} }{(n+1)!}}\)

No właśnie dokładnie takie krzaczki mi wyszły i nie moge sobie poradzic z dojsciem do rozwiazania

edit
to \(\displaystyle{ \left( n+1\right)^{n}}\) w pierwszym ułamku mi troche przeszkadza zeby to była równość

edit2
już wiem jak.. zapomniałem, że w podstawie też podnosze do potęgi n+1 za późno już chyba, dzięki!