nie umie sobie poradzic z 2 zadaniami
1. Pokazać że dla n ≥ 5 zachodzi 2^n>n �
2. Udowodnić że dowolną kwotę pieniędzy złożoną z n zł takiego że n ≥ 4 można wypłacić po 2 zł i 5 zł
Byłabym wdzięczna gdyby ktoś pomógł mi to rozwiązać. Potrzebuje to na dzisiaj!!
Z góry serdecznie dziękuje za pomoc
Indukcja matematyczna - 2 zadania.
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Indukcja matematyczna - 2 zadania.
1)
Sprawdźmy \(\displaystyle{ n=5}\).
\(\displaystyle{ 2^5=32>5^2=25}\).
Przypuśćmy, że nierówność jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ k>5}\), tzn. \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^{k+1}>k^2\cdot 2 > (k+1)^2}\), co kończy dowód.
Można zapisać tę nierówność w ogólniejszej formie:
\(\displaystyle{ a^n>n^a}\), gdzie \(\displaystyle{ a>1}\), a \(\displaystyle{ n>a^2}\), dowód również przez indukcję.
2) Jeśli n jest parzyste - nie ma czego dowodzić - można tę sumę wypłacić w samych 2zł. Jeśli n jest wielokrotnością 5zł, też nie ma czego dowodzić.
Przeto załóżmy, że \(\displaystyle{ n\neq 2k\wedge n\neq 5l}\).
Załóżmy, że można wypłacić w ten sposób n złotych. Wśród bilonu pojawi się co najmniej jedna 5zł & 2zł. 'Cofając' 5zł i dokładając 3 dwuzłotówki dostaniemy n+1 złotych, co kończy dowód.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Sprawdźmy \(\displaystyle{ n=5}\).
\(\displaystyle{ 2^5=32>5^2=25}\).
Przypuśćmy, że nierówność jest prawdziwa dla pewnego \(\displaystyle{ k>5}\), tzn. \(\displaystyle{ 2^k>k^2}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^{k+1}>k^2\cdot 2 > (k+1)^2}\), co kończy dowód.
Można zapisać tę nierówność w ogólniejszej formie:
\(\displaystyle{ a^n>n^a}\), gdzie \(\displaystyle{ a>1}\), a \(\displaystyle{ n>a^2}\), dowód również przez indukcję.
2) Jeśli n jest parzyste - nie ma czego dowodzić - można tę sumę wypłacić w samych 2zł. Jeśli n jest wielokrotnością 5zł, też nie ma czego dowodzić.
Przeto załóżmy, że \(\displaystyle{ n\neq 2k\wedge n\neq 5l}\).
Załóżmy, że można wypłacić w ten sposób n złotych. Wśród bilonu pojawi się co najmniej jedna 5zł & 2zł. 'Cofając' 5zł i dokładając 3 dwuzłotówki dostaniemy n+1 złotych, co kończy dowód.
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki