Matematyka.pl

Cześć wszystkim. Mam takie ciekawe zadania z którym nie potrafię sobie poradzić.
Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) liczba
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)

Moje próby.
Pierwszy krok indukcyjny. Sprawdzam, czy wyrażenie to spełnia się dla dowolnej liczby naturalnej. No i wiadomo jest wszystko okej. Sprawdziłem dla \(\displaystyle{ k=1}\).
Drugi krok. Zakładam, że wyrażenie to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Zatem,
\(\displaystyle{ n\left( n+1\right)\left( n+9\right)\left( n ^{2}+1 \right)}\). Wiec skoro to wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) to \(\displaystyle{ n\left( n+1\right)\left( n+9\right)\left( n ^{2}+1 \right)=5a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \CC}\).
Teraz w trzecim kroku sprawdzam, czy prawda ta jest również dla \(\displaystyle{ n+1}\). Zatem wyrażenie to przyjmuję formę \(\displaystyle{ \left( n+1\right)\left( n+2\right)\left( n+10\right)\left[ \left( n+1\right) ^{2}+1 \right]}\)
No i teraz nie wiem co dalej...
Jakieś rady i poprawy?

xxDorianxx pisze:Pierwszy krok indukcyjny. Sprawdzam, czy wyrażenie to spełnia się dla dowolnej liczby naturalnej. No i wiadomo jest wszystko okej.

Skoro wiadomo, że wszystko jest OK, to po co się dalej męczyć?

Chyba nie to chciałeś napisać...

xxDorianxx pisze:Drugi krok. Zakładam, że wyrażenie to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

Zakładam, że wyrażenie to jest prawdziwe dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

xxDorianxx pisze:Zatem,
\(\displaystyle{ n\left( n+1\right)\left( n+9\right)\left( n ^{2}+1 \right)}\). Więc skoro to wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) to \(\displaystyle{ n\left( n+1\right)\left( n+9\right)\left( n ^{2}+1 \right)=5a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \CC}\).

Gdzie \(\displaystyle{ a\in\ZZ}\) (lub po szkolnemu \(\displaystyle{ a\in C}\)) - \(\displaystyle{ \CC}\) to zbiór liczb zespolonych.

To tyle poprawek. A pytanie jest, czy musisz to robić indukcyjnie - bez indukcji można to szybko udowodnić badając reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\).

JK

Dziękuję za poprawki.Tak chce to zrobić indukcyjnie.Szkolnym sposobem to zrobiłem.Ale chce tutaj właśnie tę indukcję użyć.Tylko nie wiem właśnie jak ten 3 krok zrobić :/

nie ma takiego czegoś jak trzeci krok w indukcji matematycznej. Twój trzeci i drugi krok to po prostu drugi. W drugim kroku zakładasz, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \in\NN}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a \in\ZZ}\), że \(\displaystyle{ n( n+1)( n+9)( n ^{2}+1)=5a}\) i udowadniasz, że dla \(\displaystyle{ n+1\in\NN}\) istnieje takie \(\displaystyle{ b\in\ZZ}\), że \(\displaystyle{ (n+1)(n+2)(n+10)(n^2+2n+2)=5b}\)

rubiccube pisze:nie ma takiego czegoś jak trzeci krok w indukcji matematycznej.

Ależ jest.

Trzeci krok to powołanie się na Zasadę Indukcji Matematycznej, której założenia sprawdziliśmy w dwóch pierwszych krokach.

Ale zgadzam się z rubiccube, że podział na trzy kroki proponowany przez xxDorianaxx jest mylący (choć nierzadko spotykany).

JK

Jak widać ze średnich źródeł korzystałem.Okej przerobię jeszcze kilka przykładów i wracam jak nie dam rady tego potem.

Jan Kraszewski pisze: Trzeci krok to powołanie się na Zasadę Indukcji Matematycznej, której założenia sprawdziliśmy w dwóch pierwszych krokach.
JK

W takim razie mój profesor musiał się nieźle przejęzyczyć tłumacząc nam właśnie ten błąd który tutaj zaszedł

Co do Twojego przykładu xxDorianxx to wystarczy przemnożyć nawiasy i wykorzystać założenie podstawiając za na przykład \(\displaystyle{ n^5}\) i powinno pójść. Jeśli nadal będą problemy to napisz w jaki sposób to robisz.

rubiccube pisze:W takim razie mój profesor musiał się nieźle przejęzyczyć tłumacząc nam właśnie ten błąd który tutaj zaszedł

Przyzwyczailiśmy się uważać, że indukcja ma dwa kroki. Tymczasem Zasada Indukcji Matematycznej ma postać twierdzenia, w którym są dwa założenia i teza. Żeby z niej móc skorzystać, musimy sprawdzić, że spełnione są założenia - to są te dwa kroki, po jednym dla każdego założenia, i tu jest matematyczna trudność. No ale jak już sprawdziliśmy, że założenia są spełnione i możemy z Zasady Indukcji Matematycznej skorzystać, to wypadałoby to zrobić...

JK