Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum^{n-1}_{i=0}\left(2i+1\right)=n^2}\)

Mam z tym przykładem duzy problem..

Przypomnij sobie wzor na sume ciagu arytmetycznego

\(\displaystyle{ \mathbf{1.}}\) Sprawdzamy \(\displaystyle{ n=1}\) jest to oczywiście prawda \(\displaystyle{ 1=1}\).

\(\displaystyle{ \mathbf{2.}}\) Zakłamując że wzór zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n\in\NN}\) pokazujemy prawdziwość implikacji że dla \(\displaystyle{ n+1}\) też zajdzie. Rozpatrzmy więc sumę po lewej stronie dla \(\displaystyle{ n+1}\) i przekształćmy ją:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\left( 2i+1\right)=\underbrace{\sum_{i=0}^{n-1}\left( 2i+1\right)}_{\text{z założenia wiemy że to jest}\ n^2}+2n+1=n^2+2n+1=(n+1)^2}\)

A to jest teza dla \(\displaystyle{ n+1}\). Na mocy indukcji matematycznej dowód jest zakończony.

Janusz Tracz pisze:\(\displaystyle{ \mathbf{1.}}\) Sprawdzamy \(\displaystyle{ n=1}\) jest to oczywiście prawda \(\displaystyle{ 1=1}\).

\(\displaystyle{ \mathbf{2.}}\) Zakłamując że wzór zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n\in\NN}\) pokazujemy prawdziwość implikacji że dla \(\displaystyle{ n+1}\) też zajdzie.

To się nazywa indukcja przez zakłamanie Wszyscy uwielbiamy zaawansowane funkcje w smartfonach

Możesz rozwinąć myśl bo obawiam się że nie rozumiem co jest "zakłamaniem" i gdzie moje rozwiązanie miał by się zepsuć.

Janusz Tracz pisze:\(\displaystyle{ \mathbf{2.}}\) Zakłamując że wzór zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n\in\NN}\)

To proste, zrobiłeś zakłamanie indukcyjne...

JK

Rzeczywiście Teraz już nawet zrozumiem żart o smartfonach... Dziękuję za poprawę wiadomości.

Nie wiem, czy JK to poprawił, bo ja nadal widzę stary tekst

No skąd, to przecież wygląda cudnie. W żadnym wypadku nie należy tego poprawiać.

JK