Matematyka.pl

Wykaz metoda indukcji mat. ze dla kazdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi rownosc
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^{2} + (\frac{1}{3})^{3} + ... + (\frac{1}{3})^{n}\,=\,\frac{1}{2}(3 - \frac{1}{ 3^{n} })}\)

No i dochodze do takiego momentu
Dowod
L=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(3 - \frac{1}{3^{k}}) + (\frac{1}{3})^{k + 1}\,=\,}\)
no i wlasnie tutaj jest problem jak dojsc od tego do prawej strony??

Przekształcić...?

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot ft(3-\frac{1}{3^k}\right) + \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{1}{2}\cdot\left(3-\frac{1}{3^k} + \frac{2}{3^{k+1}}\right) = \frac{1}{2}\cdot\left(3-\frac{3}{3^{k+1}} + \frac{2}{3^{k+1}}\right) = \frac{1}{2}\left(3-\frac{1}{3^{k+1}}\right)}\).


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

A czy czasem dla n=1 nie zachodzi równość?
\(\displaystyle{ L=1 P=1\frac{1}{3}}\)
Albo czegoś nie widze, albo nie wiem

Edit:

No chyba, że dla n=1 lewa strona:
\(\displaystyle{ L=1+\frac{1}{3}}\)
Ale jak dla mnie to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) to już jest drugi wyraz ciągu z lewej strony.

Prosze o jakieś drobne wyjaśnienie

\(\displaystyle{ 1=(\frac{1}{3})^{0}}\) czyli jest "zerowym" elementem (uznając, że 0 należy do naturalnych)

Ok dzięki:)