Matematyka.pl

Witam, mam problem, więc jeśli ktoś ma ochotę pomóc, z góry dziękuje.
Dostałem definicje rekurencyjną, dalej ciąg Fibonacciego, a to wszystko było przy okazji indukcji, więc sądze, że musze to udowodnić indukcyjnie (za tą niepewność przepraszam, ale takie a nie inne okoliczności)

\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n} = a_{n-2} + a_{n-1}, n>2}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n - (\frac{-\sqrt{5}+1}{2})^n)}\)

Dla n=1 i n=2 mam udowodnione, że to jest 1, ale nie wiem co zrobić dalej.

No wiec propnuje "rozmienic na drobne" wyraz a_n-ty:

a_n = 1/√5 × [ (√5 +1 )/2]^n - 1/√5 × [ (-√5+1 )/2]^n,

dalej tylko pierwszy skladnik sumy rozpisze (z pominięciem √ 5) :

[(√5 +1 )/2]^n = [(√5 +1 )/2]^(n-1+1) =
= [(√5 +1 )/2] × [(√5 +1 )/2]^(n-1) =
= [(√5 +1 )/2 + 1 - 1] × [(√5 +1 )/2]^(n-1) =
= [(√5 +1 )/2]^(n-1) +[(√5 - 1 )/2] × [(√5 +1 )/2]^(n-1)
= [(√5 +1 )/2]^(n-1) +[(√5 - 1 )/2] × [(√5 + 1 )/2] * [(√5 +1 )/2]^(n-2) =
= [(√5 +1 )/2]^(n-1) +[(5-1) /4] × [(√5 +1 )/2]^(n-2) =
= [(√5 +1 )/2]^(n-1) +[(√5 +1 )/2]^(n-2)
(sorry za upiorna postac, nie jestem jeszcze obeznany z tym jezykiem kodowania, jak przeniesiesz na papier powino byc strawniejsze)

Analogicznie z drugim skladnikiem i po rozmianie na drobne mamy upragniona sume a_n-1 + a_n-2. CeBeDeO

Pozdrawiam cieplo

Hilyamel