Matematyka.pl

Mam dwa zadanka (dosyć trudne) o następującej treści:

1. Udowodnij, że jeśli dla liczby naturalnej k liczba \(\displaystyle{ 3^{2k} + 8(k-1)}\) jest podzielna przez 8, to liczba \(\displaystyle{ 3^{2(k+1)} + 8k}\) też jest podzielna przez 8. Czy z tego wynika, że każda liczba postaci \(\displaystyle{ 3^{2n} + 8(n-1)}\) jest podzielna przez 8?
Ja zacząłem od ZAŁOŻENIA IND.: \(\displaystyle{ 3^{2k} + 8(k-1)}\), a następnie stworzyłem, a raczej przepisałem TEZE IND.: \(\displaystyle{ 3^{2(k+1)} + 8k}\). Po udowodnieniu tezy wyszło, że L=P. Ale jest pewien szkopuł. Mianowicie nie moge znaleźć takiej liczby n, dla której liczba \(\displaystyle{ 3^{2n} + 8(n-1)}\) byłaby podzielna przez 8. I co ja mam z tym zrobić ?

2. Wyobraź sobie, że na płaszczyźnie poprowadzono n prostych w ten sposób, że wśród tych prostych nie ma pary prostych równoległych i przez żaden punkt nie przechodzą trzy z tych prostych. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n\(\displaystyle{ \geq}\)1 poprowadzone w ten sposób proste dzielą płaszczyznę na \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(n^{2}+n+2)}\) obszarów.
Domyślam się, że w tym zadaniu trzeba utworzyć równanie. Jedną strone równania mamy podaną, ale co z drugą to nie mam pojęcia.

1. Dla żadnego k liczba ta nie jest podzielna przez 8. Pierwszy wyraz jest zawsze nieparzysty natomiast drugi zawsze podzielny przez 8. Pomyliłeś się. Jednak gdyby to była prawda, to zakładajac, że tak jest i pokazując ze dla k+1 zachodzi to można mówić, ze równość ta zachodzi dla każdego n>x, gdzie x to pierwsze n dla którego równość jest spełniona.

2. To jest indukcja. Zakładasz, ze dla n zachodzi i sprawdzasz, czy to jest prawdą dla n+1. Więc zakładając, że dla n prostych spełniona jest ta równość udowodnij, że jeśli poprowadzimy jeszcze jedna prostą zgodnie z załozeniami to dojdzie nam n+1 nowych obszarów.

To pierwsze zadanko to by się zgadzało. Ale to drugie to nadal nie rozumiem.

[ Dodano: Czw Sty 19, 2006 9:29 pm ]
Nie chce już zakładać nowego tematu więc napisze to w tym. Mam jeszcze jedno (i pewnie nie ostatnie) zadanie z indukcji matematycznej z którym mam problemy:

Wiemy, że liczba \(\displaystyle{ 11^{51} + 13^{99}}\) dzieli się przez 133. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 11^{52} + 13^{101}}\) też dzieli się przez 133. Sądzę, że należy coś przekształcić i podstawić, ale nie z tego nie wychodzi.

\(\displaystyle{ 11^{52}+13^{101}=169(13^{99}+11^{51})-158\cdot 11^{51}}\)

Czyli nie jest podzielne