Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } < 2 \sqrt{n}}\)
oczywiście, dla \(\displaystyle{ n \in N}\)

Więc tradycyjnie sprawdzamy \(\displaystyle{ n=1}\) widać że działa więc przechodzimy do indukcyjnego założenia \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } < 2 \sqrt{n}}\) i sprawdzamy co się dzieje dla \(\displaystyle{ n+1}\). Lewą stronę szacujemy z założenia przez:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} }+\frac{1}{ \sqrt{n+1} } < 2 \sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }}\)

Co sprowadza problem do pokazania czy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }<2 \sqrt{n+1}}\). A to po kilku prostych przekształceniach jest równoważne \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}\). W tym momencie nierówność jest już widoczna w sposób oczywisty.

czyli bardzo klasyczna metoda jest tu kluczem
dzięki bardzo za szybkie wyjaśnienie!

-- 1 lut 2018, o 11:34 --

Może jeszcze tu, ażeby nie zakładać nowego posta, bo temat identyczny.
Tym razem borykam się z czymś takim, nie mogę ogarnąć, próbowałem na wiele sposobów: jakoś to rozpisać - do połowy się nawet dobrze skraca, ale nie wiem co potem; klasycznymi metodami ( np. tak jak powyżej ) też, ale to chyba nie o to chodzi...

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n - 1}{2n} < \frac{1}{ \sqrt{2n} } ,}\)

\(\displaystyle{ n \in N}\)-- 2 lut 2018, o 00:57 --jakoś sobie poradziłem z tym dowodem w końcu! jeśli ktoś chciałby rozwiązanie, to proszę pisać, napiszę

Zrobiłeś indukcyjnie? Inny pomysł to:

\(\displaystyle{ L=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n}= \frac{ \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{4}\cdot \frac{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }{6} \cdot ... \cdot \frac{ \sqrt{2n-1} \cdot \sqrt{2n-1} }{2n}}\)

Przesuńmy górny rząd w lewo o jedno oczko, pierwszy wyraz niech wpadnie ma koniec. Dostajemy teraz:

\(\displaystyle{ L= \frac{ \sqrt{1} \cdot \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{4}\cdot \frac{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} }{6} \cdot ... \cdot \frac{ \sqrt{2n-3} \cdot \sqrt{2n-1} }{2n-2}\cdot \frac{ \sqrt{2n-1} \cdot \sqrt{1} }{2n}}\)

Zauważmy że \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2n-3} \cdot \sqrt{2n-1} }{2n-2}<1}\) co łatwo pokazać. Więc można teraz oszacować lewą stronę zostawiając ostatni wyraz iloczynu mamy więc:

\(\displaystyle{ L < \frac{ \sqrt{2n-1} }{2n}= \sqrt{1- \frac{1}{2n} } \cdot \frac{1}{ \sqrt{2n}}< \frac{1}{ \sqrt{2n} }}\)

Co kończy dowód.

Jeszcze inny sposób to podniesienie szacowanego wyrażenia do kwadratu i skorzystanie z \(\displaystyle{ \frac{k-1}{k}<\frac{k}{k+1}}\), wtedy bezboleśnie uzyskamy nawet trochę lepsze oszacowanie: \(\displaystyle{ L<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\)