Matematyka.pl

Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić w jaki sposób udowodnić te równości, tylko nie od strony teoretycznej, tylko praktycznej?

\(\displaystyle{ {n \choose 0}+{n \choose 2}+{n \choose 4}+...={n \choose 1}+{n \choose 3}+{n \choose 5}+...=2 ^{n-1}}\)

-- 5 lis 2018, o 10:35 --

A mogłoby to być zrobione w ten sposób?

\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0} {n \choose k}1 ^{n-k}1 ^{k}=(1+1) ^{n}=2 ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0} {n \choose 2k}=x}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=0} {n \choose 2k+1}=y}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2 ^{n}\\ x-y=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2x=2 ^{n}}\)
\(\displaystyle{ x=2 ^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ y=2 ^{n-1}}\)

Jasne, fajny sposób. Tylko jeszcze szybkie uzasadnienie, że, używając Twojej notacji, \(\displaystyle{ x-y=0}\), by się przydało. To też od razu idzie ze wzoru dwumianowego, tak jak ta rzecz z \(\displaystyle{ 2^n}\).
\(\displaystyle{ (1-1)^n=\ldots}\)