Matematyka.pl

Czesc

Moze ktos bedzie znal rozwiazanie :

1. Udowodnij(nie koniecnzie za pomoca indukcji mat.) \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczba nie wymierna.

2. Udowodnij, ze n^2-2 nie jest podzielna przez 3.

Zad.2.
\(\displaystyle{ n^{2}-2}\)
Zauważ że każda liczbę możesz zapisać jako 3k;3k+1 albo 3k+2, dlatego też:
\(\displaystyle{ (3k)^{2}-2=9k^{2} -2= 3( 3k^{2})-2}\).
Postępując analogicznie mozesz udowodnić teze.

Dzieki za drugie ale nie za bardzo rozumiem. Mozesz to bardziej wyjasnic?

W pierwszym zle przepisalem przyklad-teraz juz poprawilem.

1) Niech \(\displaystyle{ f(x) = x^4-27}\).

\(\displaystyle{ \sqrt{3\sqrt{3}}=3^{3/4}}\).

Zauwazmy, ze \(\displaystyle{ f\left(3^{3/4}\right)=0}\).

Mozliwe pierwiastki wymierne tego wielomianu to \(\displaystyle{ \pm 3^0,\pm 3^1,\pm 3^2, 3^3}\), a to juz konczy dowod.

A więc liczba n jest dowoloną liczbą naturalną. Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci albo 3k (wtedy jest podzielna przez 3) albo 3k+1 albo 3k+2 np.
dla k=2 to 3*k=6;3*k+1=7;3k+2=8; w podany sposób można zapisać każdą liczbę naturalną np. gdy n=100 to n=3k+1; a więc wiedząc to do równania zamiast n piszesz wszytskie możliwości jakie może spełniać, czyli może być 3k albo 3k+1 albbo 3k+2.
1 możliwość.
n=3k
\(\displaystyle{ (3k)^{2} -2= 9k^{2} -2=3( 3k^{2})-2}\)
Widzimy że ten wynik co wyszedł nie jest podzielny przez 3
2 możliwość
n=3k+1
\(\displaystyle{ (3k+1)^{2}-2=9k^{2} +6k+1-2=9k^{2} +6k-1=3(3^{2} +2k)-1}\)
Tutaj również widzimy że końcowa liczbe nie jest podzielna przez 3
3 możliwość
n=3k+2
\(\displaystyle{ (3k+2)^{2}-2=9k^{2} +12k+4-2=9k^{2} +12k+2=3(3k^{2} +4k)+2}\)
Tutaj też widzimy że liczbe nie jest podzielna przez 3