Matematyka.pl

czy ktoś potrafiłby mi to udowodnic indukcyjnie? Jutro mam na kole.. i nie wiem jak do tego podejsc ;/ w sumie nikt nie wie, bo pierwszy raz mielismy do czynienia z czyms takim ;/
Plis o pomoc szybką

\(\displaystyle{ \frac{4^n}{ 2\sqrt{n}} q {2n \choose n}}\)

DOWÓD INDUKCYJNY

Loome pisze:czy ktoś potrafiłby mi to udowodnic indukcyjnie? Jutro mam na kole.. i nie wiem jak do tego podejsc ;/ w sumie nikt nie wie, bo pierwszy raz mielismy do czynienia z czyms takim ;/
Plis o pomoc szybką

\(\displaystyle{ \frac{4^n}{ 2\sqrt{n}} q {2n \choose n}}\)

DOWÓD INDUKCYJNY

Łatwo to sprawdzić dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ {2n\choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}}\)
Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ [\frac{4^n}{ 2\sqrt{n}} q {2n \choose n}]\Longrightarrow [\frac{4^{n+1}}{ 2\sqrt{n+1}} q {2n+2 \choose n+1}]}\)
Istonie, albowiem:
\(\displaystyle{ {2n+2 \choose n+1}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}=\frac{(2n)!\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{(n!)^2\cdot (n+1)^2}=\frac{(2n)!\cdot (2n+1)\cdot 2\cdot (n+1)}{(n!)^2\cdot (n+1)^2}=\frac{(2n)!\cdot (2n+1)\cdot 2}{(n!)^2\cdot (n+1)}\ge \frac{(4^n)\cdot (2n+1)\cdot 2}{ 2\sqrt{n}\cdot (n+1)}}\)
i w dodatku:
\(\displaystyle{ [\frac{(4^n)\cdot (2n+1)\cdot 2}{ 2\sqrt{n}\cdot (n+1)}\ge \frac{4^{n+1}}{ 2\sqrt{n+1}}]\Longleftrightarrow [4n^2+3n\le 4n^2+4n+1]}\)
Nie chcę mi się już pisać tych ostatnich przekształceń. Gdybyś nie wiedział jak, napisz.